与えられた複数の関数の導関数を計算し、空欄を埋める問題です。また、高次導関数に関する問題もあります。

1. 問題の内容

与えられた複数の関数の導関数を計算し、空欄を埋める問題です。また、高次導関数に関する問題もあります。

2. 解き方の手順

1.3 合成関数の導関数

A. $f(x) = (3x^2 + 2x + 1)^5$

合成関数の微分法より、

$f'(x) = 5(3x^2 + 2x + 1)^4 (6x + 2) = 5(3x^2 + 2x + 1)^4 (6x + 2)$

よって、ア=5, ウ=6, エ=2

B. $f(x) = \sqrt{2x^2 + 1} = (2x^2 + 1)^{\frac{1}{2}}$

合成関数の微分法より、

$f'(x) = \frac{1}{2}(2x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}} (4x) = \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 1}}$

よって、オ=2, カ=2

1.4 三角関数の導関数

A. $f(x) = \sin(x^2 + 1)$

合成関数の微分法より、

$f'(x) = \cos(x^2 + 1) \cdot 2x = 2x \cos(x^2 + 1)$

よって、ア=2, イ=cos

B. $f(x) = \cos^3(2x) = (\cos(2x))^3$

合成関数の微分法より、

$f'(x) = 3(\cos(2x))^2 (-\sin(2x)) \cdot 2 = -6 \cos^2(2x) \sin(2x)$

よって、ウ=6, エ=sin, オ=sin

C. $f(x) = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$

商の微分法より、

$f'(x) = \frac{\cos x (1 + \cos x) - \sin x (-\sin x)}{(1 + \cos x)^2} = \frac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(1 + \cos x)^2} = \frac{\cos x + 1}{(1 + \cos x)^2} = \frac{1}{1 + \cos x}$

よって、カ=1, キ=1, ク=cos

1.5 指数関数・対数関数の導関数

A. $f(x) = \log|3x^2 + 2x + 1|$

合成関数の微分法より、

$f'(x) = \frac{1}{3x^2 + 2x + 1} (6x + 2) = \frac{6x + 2}{3x^2 + 2x + 1}$

よって、ア=6, イ=2, ウ=3, エ=2

B. $f(x) = (2x + 1)e^x$

積の微分法より、

$f'(x) = 2e^x + (2x + 1)e^x = (2x + 3)e^x$

よって、オ=2, カ=3

C. $f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

商の微分法より、

$f'(x) = \frac{(e^x + e^{-x})(e^x + e^{-x}) - (e^x - e^{-x})(e^x - e^{-x})}{(e^x + e^{-x})^2} = \frac{(e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2}{(e^x + e^{-x})^2} = \frac{4}{(e^x + e^{-x})^2}$

分子は $(a+b)^2-(a-b)^2 = 4ab$ を用いて、 $4 e^x e^{-x} = 4$

よって、キ=4, ク=2

1.6 高次導関数

$f(x) = x^6$

$f'(x) = 6x^5$

$f''(x) = 30x^4$

$f'''(x) = 120x^3$

$f^{(4)}(x) = 360x^2$

$f^{(4)}(1) = 360$

よって、ア=360

3. 最終的な答え

1.3 A. ア=5, ウ=6, エ=2

1.3 B. オ=2, カ=2

1.4 A. ア=2, イ=cos

1.4 B. ウ=6, エ=sin, オ=sin

1.4 C. カ=1, キ=1, ク=cos

1.5 A. ア=6, イ=2, ウ=3, エ=2

1.5 B. オ=2, カ=3

1.5 C. キ=4, ク=2

1.6 ア=360