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$\arctan(\cot x)$ の微分を求める問題です。

解析学微分三角関数合成関数arctancot
2025/5/28

1. 問題の内容

arctan⁡(cot⁡x)\arctan(\cot x) の微分を求める問題です。

2. 解き方の手順

arctan⁡(x)\arctan(x) の微分は 11+x2\frac{1}{1 + x^2} です。また、cot⁡x\cot x の微分は −1sin⁡2x=−csc⁡2x-\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x です。合成関数の微分法を用いると、
ddxarctan⁡(cot⁡x)=11+(cot⁡x)2⋅ddx(cot⁡x)\frac{d}{dx} \arctan(\cot x) = \frac{1}{1 + (\cot x)^2} \cdot \frac{d}{dx} (\cot x)
=11+cot⁡2x⋅(−csc⁡2x)= \frac{1}{1 + \cot^2 x} \cdot (-\csc^2 x)
三角関数の恒等式 1+cot⁡2x=csc⁡2x1 + \cot^2 x = \csc^2 x を用いると、
=1csc⁡2x⋅(−csc⁡2x)= \frac{1}{\csc^2 x} \cdot (-\csc^2 x)
=−1= -1

3. 最終的な答え

−1-1

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