与えられた問題は、以下の3つのセクションに分かれています。 * 1.7 媒介変数表示された関数とその導関数を求める問題。2つの小問A,Bがあります。 * 1.8 方程式で定められた関数について、$\frac{dy}{dx}$を求める問題。2つの小問A,Bがあります。 * 2.1 与えられた曲線上の点における接線の方程式を求める問題。2つの小問A,Bがあります。

1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の3つのセクションに分かれています。

* 1.7 媒介変数表示された関数とその導関数を求める問題。2つの小問A,Bがあります。

* 1.8 方程式で定められた関数について、$\frac{dy}{dx}$を求める問題。2つの小問A,Bがあります。

* 2.1 与えられた曲線上の点における接線の方程式を求める問題。2つの小問A,Bがあります。

2. 解き方の手順

* **1.7 A:** $x = 2t - 1$, $y = t^2 + 2t + 3$。

$\frac{dx}{dt} = 2$, $\frac{dy}{dt} = 2t + 2$.

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2t + 2}{2} = t + 1$.

* **1.7 B:** $x = t - \sin t$, $y = 2(1 - \cos t)$.

$\frac{dx}{dt} = 1 - \cos t$, $\frac{dy}{dt} = 2 \sin t$.

$\frac{dy}{dx} = \frac{2 \sin t}{1 - \cos t} = \frac{2 \cdot 2 \sin(t/2) \cos(t/2)}{2 \sin^2(t/2)} = \frac{2 \cos(t/2)}{\sin(t/2)} = 2 \cot(t/2)$.

$\cot(t/2) = \frac{\cos(t/2)}{\sin(t/2)} = \frac{\cos(t/2)}{\sin(t/2)} \cdot \frac{2 \cos(t/2)}{2 \cos(t/2)} = \frac{2 \cos^2(t/2)}{2 \sin(t/2) \cos(t/2)} = \frac{1 + \cos t}{\sin t}$.

$\frac{dy}{dx} = \frac{2 \sin t}{1 - \cos t}$

* **1.8 A:** $x^2 + y^2 - 2x - 3 = 0$. 両辺を$x$で微分すると、$2x + 2y\frac{dy}{dx} - 2 = 0$.

$2y \frac{dy}{dx} = 2 - 2x$, $\frac{dy}{dx} = \frac{2 - 2x}{2y} = \frac{1 - x}{y}$.

* **1.8 B:** $y^2 + 4x - 2y + 9 = 0$. 両辺を$x$で微分すると、$2y\frac{dy}{dx} + 4 - 2\frac{dy}{dx} = 0$.

$(2y - 2)\frac{dy}{dx} = -4$, $\frac{dy}{dx} = \frac{-4}{2y - 2} = \frac{-2}{y - 1}$.

* **2.1 A:** $y = \log x$ at $A(1,0)$.

$y' = \frac{1}{x}$. At $x=1$, $y' = 1$.

接線の方程式は $y - 0 = 1(x - 1)$, $y = x - 1$.

* **2.1 B:** $y = \sqrt{x}$ at $A(4,2)$.

$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. At $x=4$, $y' = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}$.

接線の方程式は $y - 2 = \frac{1}{4}(x - 4)$, $y = \frac{1}{4}x - 1 + 2$, $y = \frac{1}{4}x + 1$.

3. 最終的な答え

* 1.7 A: $\frac{dy}{dx} = t + 1$

* 1.7 B: $\frac{dy}{dx} = \frac{2 \sin t}{1 - \cos t}$

* 1.8 A: $\frac{dy}{dx} = \frac{1 - x}{y}$

* 1.8 B: $\frac{dy}{dx} = \frac{-2}{y - 1}$

* 2.1 A: $y = x - 1$

* 2.1 B: $y = \frac{1}{4}x + 1$