与えられた関数について、指定された区間における最大値と最小値を求める問題です。具体的には、以下の4つの関数について最大値と最小値を求める必要があります。 A. $f(x) = \frac{x+2}{e^{x+1}}$, $-2 \le x \le 1$ B. $f(x) = xe^{x+1}$, $-2 \le x \le 0$ C. $f(x) = x\sin x + \cos x$, $0 \le x \le 2\pi$ D. $f(x) = x\sqrt{4-x^2}$

1. 問題の内容

与えられた関数について、指定された区間における最大値と最小値を求める問題です。具体的には、以下の4つの関数について最大値と最小値を求める必要があります。

A. $f(x) = \frac{x+2}{e^{x+1}}$, $-2 \le x \le 1$

B. $f(x) = xe^{x+1}$, $-2 \le x \le 0$

C. $f(x) = x\sin x + \cos x$, $0 \le x \le 2\pi$

D. $f(x) = x\sqrt{4-x^2}$

2. 解き方の手順

A. $f(x) = \frac{x+2}{e^{x+1}}$ の場合:

1. 導関数を計算します。

$f'(x) = \frac{e^{x+1} - (x+2)e^{x+1}}{(e^{x+1})^2} = \frac{1 - (x+2)}{e^{x+1}} = \frac{-x-1}{e^{x+1}}$

2. $f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$-x-1 = 0$ より $x = -1$

3. 区間の端点と $x = -1$ での $f(x)$ の値を計算します。

$f(-2) = \frac{-2+2}{e^{-2+1}} = 0$

$f(-1) = \frac{-1+2}{e^{-1+1}} = \frac{1}{1} = 1$

$f(1) = \frac{1+2}{e^{1+1}} = \frac{3}{e^2}$

$1 > \frac{3}{e^2} > 0$ なので、

最大値は $1$ ($x=-1$)、最小値は $0$ ($x=-2$) です。

B. $f(x) = xe^{x+1}$ の場合:

1. 導関数を計算します。

$f'(x) = e^{x+1} + xe^{x+1} = (1+x)e^{x+1}$

2. $f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$1+x = 0$ より $x = -1$

3. 区間の端点と $x = -1$ での $f(x)$ の値を計算します。

$f(-2) = -2e^{-2+1} = -2e^{-1} = -\frac{2}{e}$

$f(-1) = -1e^{-1+1} = -1$

$f(0) = 0e^{0+1} = 0$

$0 > -1 > -\frac{2}{e}$ なので、

最大値は $0$ ($x=0$)、最小値は $-1$ ($x=-1$) です。

C. $f(x) = x\sin x + \cos x$ の場合:

1. 導関数を計算します。

$f'(x) = \sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x$

2. $f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$x\cos x = 0$ より、$x=0$ または $\cos x = 0$。

$\cos x = 0$ となるのは、$x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$

3. 区間の端点と $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$ での $f(x)$ の値を計算します。

$f(0) = 0\sin 0 + \cos 0 = 1$

$f(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}\sin \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$

$f(\frac{3\pi}{2}) = \frac{3\pi}{2}\sin \frac{3\pi}{2} + \cos \frac{3\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}(-1) + 0 = -\frac{3\pi}{2}$

$f(2\pi) = 2\pi\sin 2\pi + \cos 2\pi = 0 + 1 = 1$

$\frac{\pi}{2} \approx 1.57 > 1 > -\frac{3\pi}{2}$ なので、

最大値は $\frac{\pi}{2}$ ($x=\frac{\pi}{2}$)、最小値は $-\frac{3\pi}{2}$ ($x=\frac{3\pi}{2}$) です。

D. $f(x) = x\sqrt{4-x^2}$ の場合:

1. 導関数を計算します。

$f'(x) = \sqrt{4-x^2} + x\frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}} = \sqrt{4-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}} = \frac{4-x^2 - x^2}{\sqrt{4-x^2}} = \frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}}$

2. $f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$4-2x^2 = 0$ より $2x^2 = 4$, $x^2 = 2$, $x = \pm\sqrt{2}$

ただし、定義域は $4-x^2 \ge 0$ より $-2 \le x \le 2$ なので、$\pm\sqrt{2}$ は定義域に含まれます。

3. $x = \sqrt{2}$ のとき $f(\sqrt{2}) = \sqrt{2}\sqrt{4-2} = \sqrt{2}\sqrt{2} = 2$

$x = -\sqrt{2}$ のとき $f(-\sqrt{2}) = -\sqrt{2}\sqrt{4-2} = -\sqrt{2}\sqrt{2} = -2$

最大値は $2$ ($x=\sqrt{2}$)、最小値は $-2$ ($x=-\sqrt{2}$) です。

3. 最終的な答え

A. $x = -1$ で最大値 $1$, $x = -2$ で最小値 $0$ をとる。

B. $x = 0$ で最大値 $0$, $x = -1$ で最小値 $-1$ をとる。

C. $x = \frac{\pi}{2}$ で最大値 $\frac{\pi}{2}$, $x = \frac{3\pi}{2}$ で最小値 $-\frac{3\pi}{2}$ をとる。

D. $x = \sqrt{2}$ で最大値 $2$, $x = -\sqrt{2}$ で最小値 $-2$ をとる。