与えられた関数 $\phi(x, y, z) = x^2y^2 + xyz + 3xz^2$ について、以下の2つの問題を解きます。 (1) $\phi$ の勾配ベクトル $\nabla \phi$ を求めます。 (2) 単位ベクトル $a = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)$ が与えられたとき、点 $(1, 1, 1)$ における $\nabla \phi$ の $a$ 方向への方向微分（$a$ 方向成分）を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $\phi(x, y, z) = x^2y^2 + xyz + 3xz^2$ について、以下の2つの問題を解きます。

(1) $\phi$ の勾配ベクトル $\nabla \phi$ を求めます。

(2) 単位ベクトル $a = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)$ が与えられたとき、点 $(1, 1, 1)$ における $\nabla \phi$ の $a$ 方向への方向微分（$a$ 方向成分）を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 勾配ベクトル $\nabla \phi$ を求める。

$\nabla \phi = (\frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z})$

$\frac{\partial \phi}{\partial x} = 2xy^2 + yz + 3z^2$

$\frac{\partial \phi}{\partial y} = 2x^2y + xz$

$\frac{\partial \phi}{\partial z} = xy + 6xz$

したがって、

$\nabla \phi = (2xy^2 + yz + 3z^2, 2x^2y + xz, xy + 6xz)$

(2) 点 $(1, 1, 1)$ における $\nabla \phi$ の値を求める。

$\nabla \phi(1, 1, 1) = (2(1)(1)^2 + (1)(1) + 3(1)^2, 2(1)^2(1) + (1)(1), (1)(1) + 6(1)(1)) = (2 + 1 + 3, 2 + 1, 1 + 6) = (6, 3, 7)$

(3) $\nabla \phi$ の $a$ 方向への方向微分を求める。これは、$\nabla \phi$ と $a$ の内積で与えられる。

$\nabla \phi(1, 1, 1) \cdot a = (6, 3, 7) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1) = \frac{1}{\sqrt{3}}(6(1) + 3(1) + 7(1)) = \frac{1}{\sqrt{3}}(6 + 3 + 7) = \frac{16}{\sqrt{3}}$

$\frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\nabla \phi = (2xy^2 + yz + 3z^2, 2x^2y + xz, xy + 6xz)$

(2) 点 $(1, 1, 1)$ における $\nabla \phi$ の $a$ 方向成分: $\frac{16\sqrt{3}}{3}$