定積分 $\int_{-1}^{1} (x^2 - 2x)^2 dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{1} (x^2 - 2x)^2 dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分の中の式を展開します。

$(x^2 - 2x)^2 = (x^2 - 2x)(x^2 - 2x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{-1}^{1} (x^4 - 4x^3 + 4x^2) dx$

次に、それぞれの項を積分します。

$\int x^4 dx = \frac{x^5}{5}$

$\int -4x^3 dx = -x^4$

$\int 4x^2 dx = \frac{4x^3}{3}$

したがって、不定積分は次のようになります。

$\int (x^4 - 4x^3 + 4x^2) dx = \frac{x^5}{5} - x^4 + \frac{4x^3}{3} + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{-1}^{1} (x^4 - 4x^3 + 4x^2) dx = [\frac{x^5}{5} - x^4 + \frac{4x^3}{3}]_{-1}^{1}$

$= (\frac{1^5}{5} - 1^4 + \frac{4(1)^3}{3}) - (\frac{(-1)^5}{5} - (-1)^4 + \frac{4(-1)^3}{3})$

$= (\frac{1}{5} - 1 + \frac{4}{3}) - (-\frac{1}{5} - 1 - \frac{4}{3})$

$= \frac{1}{5} - 1 + \frac{4}{3} + \frac{1}{5} + 1 + \frac{4}{3}$

$= \frac{2}{5} + \frac{8}{3}$

$= \frac{6}{15} + \frac{40}{15}$

$= \frac{46}{15}$

3. 最終的な答え

$\frac{46}{15}$