(1) $\int_{1}^{\infty} x^{-2} dx$ (2) $\int_{1}^{\infty} \frac{\log x}{x^2} dx$ (3) $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2-1} dx$

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1. 問題の内容

問題は2つあります。

1. 次の広義積分の値を求めなさい。

(1) $\int_{1}^{\infty} x^{-2} dx$

(2) $\int_{1}^{\infty} \frac{\log x}{x^2} dx$

(3) $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2-1} dx$

2. 次の広義積分が収束するかどうか判定条件を使って調べなさい（値を求めるのではない）。

(1) $\int_{0}^{1} |\sin \frac{1}{x}| dx$

(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x} dx$

(3) $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^3+1}} dx$

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2. 解き方の手順

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1. 広義積分の計算

(1) $\int_{1}^{\infty} x^{-2} dx$

まず、不定積分を計算します。

$\int x^{-2} dx = -x^{-1} + C$

次に、広義積分の定義に従い、極限を計算します。

$\int_{1}^{\infty} x^{-2} dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{-2} dx = \lim_{t \to \infty} [-x^{-1}]_{1}^{t} = \lim_{t \to \infty} (-\frac{1}{t} - (-1)) = 0 + 1 = 1$

(2) $\int_{1}^{\infty} \frac{\log x}{x^2} dx$

部分積分を使って計算します。$u = \log x$, $dv = x^{-2} dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = -x^{-1}$ となります。

$\int \frac{\log x}{x^2} dx = -\frac{\log x}{x} - \int (-\frac{1}{x^2}) dx = -\frac{\log x}{x} - \frac{1}{x} + C$

$\int_{1}^{\infty} \frac{\log x}{x^2} dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{\log x}{x^2} dx = \lim_{t \to \infty} [-\frac{\log x}{x} - \frac{1}{x}]_{1}^{t} = \lim_{t \to \infty} (-\frac{\log t}{t} - \frac{1}{t} - (-\frac{\log 1}{1} - \frac{1}{1}))$

ここで、$\lim_{t \to \infty} \frac{\log t}{t} = 0$ (ロピタルの定理より) なので、

$\lim_{t \to \infty} (-\frac{\log t}{t} - \frac{1}{t} - (0 - 1)) = 0 - 0 + 1 = 1$

(3) $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2-1} dx$

被積分関数は $x=1$ で定義されないため、積分を分割する必要があります。

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2-1} dx = \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2-1} dx + \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2-1} dx$

それぞれの積分を計算します。部分分数分解を使うと

$\frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$

$1 = A(x+1) + B(x-1)$

$x=1$ のとき $1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$

$x=-1$ のとき $1 = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}$

よって、

$\frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{2}(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1})$

$\int \frac{1}{x^2-1} dx = \frac{1}{2} \int (\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}) dx = \frac{1}{2}(\log|x-1| - \log|x+1|) + C = \frac{1}{2} \log|\frac{x-1}{x+1}| + C$

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2-1} dx = \lim_{t \to 1^{-}} \int_{0}^{t} \frac{1}{x^2-1} dx = \lim_{t \to 1^{-}} [\frac{1}{2} \log|\frac{x-1}{x+1}|]_{0}^{t} = \lim_{t \to 1^{-}} \frac{1}{2}(\log|\frac{t-1}{t+1}| - \log|\frac{0-1}{0+1}|) = \lim_{t \to 1^{-}} \frac{1}{2}\log|\frac{t-1}{t+1}|$

$\lim_{t \to 1^{-}} \frac{t-1}{t+1} = 0$ より $\lim_{t \to 1^{-}} \log|\frac{t-1}{t+1}| = -\infty$

したがって、$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2-1} dx = -\infty$

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2-1} dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1+\epsilon}^{t} \frac{1}{x^2-1} dx = \lim_{t \to \infty} [\frac{1}{2} \log|\frac{x-1}{x+1}|]_{1+\epsilon}^{t} = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}(\log|\frac{t-1}{t+1}| - \log|\frac{\epsilon}{2+\epsilon}|) = \frac{1}{2}(0 - \log|\frac{\epsilon}{2+\epsilon}|)$.

$\epsilon \to 0$のとき, これは発散する.

したがって、広義積分 $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2-1} dx$ は発散します。

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2. 広義積分の収束判定

(1) $\int_{0}^{1} |\sin \frac{1}{x}| dx$

$|\sin \frac{1}{x}| \le 1$ より、積分の値は最大でも1となります。したがって、この広義積分は収束します。

$0<|\sin \frac{1}{x}| \leq 1$. 積分区間$[0,1]$が有限なので、$\int_{0}^{1} |\sin \frac{1}{x}| dx$は収束します。

(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x} dx$

$x \to 0$ のとき、$\sin x \sim x$ と近似できます。

したがって、$\frac{1}{\sin x} \sim \frac{1}{x}$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{x} dx = \lim_{t \to 0^{+}} [\log x]_{t}^{\frac{\pi}{2}} = \log \frac{\pi}{2} - \lim_{t \to 0^{+}} \log t = \infty$

したがって、$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x} dx$ は発散します。

(3) $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^3+1}} dx$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{\sqrt{x^3+1}} \sim \frac{1}{\sqrt{x^3}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} dx = \lim_{t \to \infty} [-2x^{-\frac{1}{2}}]_{1}^{t} = \lim_{t \to \infty} (-\frac{2}{\sqrt{t}} - (-2)) = 0 + 2 = 2$

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x^3+1}} dx$ は有限の値を取ります。

したがって、$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^3+1}} dx$ は収束します。

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3. 最終的な答え

1. 広義積分の値

(1) $\int_{1}^{\infty} x^{-2} dx = 1$

(2) $\int_{1}^{\infty} \frac{\log x}{x^2} dx = 1$

(3) $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2-1} dx$ は発散

2. 広義積分の収束判定

(1) $\int_{0}^{1} |\sin \frac{1}{x}| dx$ は収束

(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x} dx$ は発散

(3) $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^3+1}} dx$ は収束