正の実数 $a$ に対して、曲線 $y = \sin x$ ($0 \le x \le \pi$) と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を $S$ とする。また、曲線 $y = a \cos x$ ($0 \le x \le \frac{\pi}{2}$) と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を $T$ とする。このとき、$S:T = 3:1$ となるような $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

正の実数 $a$ に対して、曲線 $y = \sin x$ ($0 \le x \le \pi$) と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を $S$ とする。また、曲線 $y = a \cos x$ ($0 \le x \le \frac{\pi}{2}$) と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を $T$ とする。このとき、$S:T = 3:1$ となるような $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$S$ を求める。

$S = \int_0^\pi \sin x \, dx = [-\cos x]_0^\pi = -\cos \pi - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$

次に、$T$ を求める。

$T = \int_0^{\pi/2} a \cos x \, dx = a [\sin x]_0^{\pi/2} = a (\sin \frac{\pi}{2} - \sin 0) = a (1 - 0) = a$

$S:T = 3:1$ であるから、$\frac{S}{T} = 3$ である。したがって、

$\frac{2}{a} = 3$

両辺に $a$ をかけて $2 = 3a$。

両辺を 3 で割ると、$a = \frac{2}{3}$。

3. 最終的な答え

$a = \frac{2}{3}$