(3) 図に示された長方形の中に、全部でいくつの長方形があるかを求める問題。 (4) A地点からB地点までの最短経路の総数と、A地点からC地点を経由してB地点まで行く最短経路の総数を求める問題。

1. 問題の内容

(3) 図に示された長方形の中に、全部でいくつの長方形があるかを求める問題。

(4) A地点からB地点までの最短経路の総数と、A地点からC地点を経由してB地点まで行く最短経路の総数を求める問題。

2. 解き方の手順

(3) 長方形の数を数える問題

長方形は、縦の線2本と横の線2本を選ぶことで一意に決まる。

縦の線は4本、横の線は3本ある。

したがって、長方形の総数は、縦の線の選び方と横の線の選び方の組み合わせで計算できる。

縦の線の選び方は $_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り。

横の線の選び方は $_3C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ 通り。

したがって、長方形の総数は $6 \times 3 = 18$ 個。

(4) A地点からB地点までの最短経路の総数を数える問題

AからBまでの最短経路は、右に6回、上に2回移動する必要がある。

したがって、全移動回数は8回。このうち、上に移動する2回を選ぶ組み合わせが、最短経路の総数となる。

最短経路の総数は $_8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ 通り。

A地点からC地点を経由してB地点まで行く最短経路の総数を数える問題

AからCまでの最短経路は、右に3回、上に1回移動する必要がある。

CからBまでの最短経路は、右に3回、上に1回移動する必要がある。

AからCまでの最短経路の総数は $_4C_1 = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$ 通り。

CからBまでの最短経路の総数は $_4C_1 = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$ 通り。

したがって、AからCを経由してBまでの最短経路の総数は $4 \times 4 = 16$ 通り。

3. 最終的な答え

(3) 18個

(4) ① 28通り ② 16通り