(3) 図に示された長方形の中に、全部でいくつの長方形があるかを求める問題。 (4) A地点からB地点までの最短経路の総数と、A地点からC地点を経由してB地点まで行く最短経路の総数を求める問題。

離散数学組み合わせ場合の数長方形の数え上げ最短経路
2025/6/27

1. 問題の内容

(3) 図に示された長方形の中に、全部でいくつの長方形があるかを求める問題。
(4) A地点からB地点までの最短経路の総数と、A地点からC地点を経由してB地点まで行く最短経路の総数を求める問題。

2. 解き方の手順

(3) 長方形の数を数える問題
長方形は、縦の線2本と横の線2本を選ぶことで一意に決まる。
縦の線は4本、横の線は3本ある。
したがって、長方形の総数は、縦の線の選び方と横の線の選び方の組み合わせで計算できる。
縦の線の選び方は 4C2=4×32×1=6_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 通り。
横の線の選び方は 3C2=3×22×1=3_3C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3 通り。
したがって、長方形の総数は 6×3=186 \times 3 = 18 個。
(4) A地点からB地点までの最短経路の総数を数える問題
AからBまでの最短経路は、右に6回、上に2回移動する必要がある。
したがって、全移動回数は8回。このうち、上に移動する2回を選ぶ組み合わせが、最短経路の総数となる。
最短経路の総数は 8C2=8×72×1=28_8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 通り。
A地点からC地点を経由してB地点まで行く最短経路の総数を数える問題
AからCまでの最短経路は、右に3回、上に1回移動する必要がある。
CからBまでの最短経路は、右に3回、上に1回移動する必要がある。
AからCまでの最短経路の総数は 4C1=4×3×23×2×1=4_4C_1 = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4 通り。
CからBまでの最短経路の総数は 4C1=4×3×23×2×1=4_4C_1 = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4 通り。
したがって、AからCを経由してBまでの最短経路の総数は 4×4=164 \times 4 = 16 通り。

3. 最終的な答え

(3) 18個
(4) ① 28通り ② 16通り

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