組み合わせの問題集です。以下の6つの問題があります。 (1) 10人の中から3人の委員を選ぶ方法 (2) アルファベットA, B, C, D, E, Fの中から2つ選ぶ方法 (3) 異なる7個の文字から5個の文字を選ぶ方法 (4) サッカーのチームが5チームあるとき、どのチームも互いに試合をする方法 (5) コーヒー、紅茶、緑茶、ジュース、ココアの中から3種類を選ぶとき、コーヒーが必ず選ばれる方法 (6) 男子3人、女子4人の計7人の中から5人選ぶとき、特定の男子2人が選ばれる方法

1. 問題の内容

組み合わせの問題集です。以下の6つの問題があります。

(1) 10人の中から3人の委員を選ぶ方法

(2) アルファベットA, B, C, D, E, Fの中から2つ選ぶ方法

(3) 異なる7個の文字から5個の文字を選ぶ方法

(4) サッカーのチームが5チームあるとき、どのチームも互いに試合をする方法

(5) コーヒー、紅茶、緑茶、ジュース、ココアの中から3種類を選ぶとき、コーヒーが必ず選ばれる方法

(6) 男子3人、女子4人の計7人の中から5人選ぶとき、特定の男子2人が選ばれる方法

2. 解き方の手順

(1) 10人の中から3人を選ぶ組み合わせなので、${}_{10}C_3$を計算します。

${}_{10}C_3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

(2) 6個のアルファベットから2個を選ぶ組み合わせなので、${}_6C_2$を計算します。

${}_6C_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

(3) 7個の文字から5個を選ぶ組み合わせなので、${}_7C_5$を計算します。

${}_7C_5 = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

別解：${}_7C_5 = {}_7C_{7-5} = {}_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

(4) 5チームから2チームを選ぶ組み合わせなので、${}_5C_2$を計算します。

${}_5C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

(5) コーヒーが必ず選ばれるので、残りの4種類（紅茶、緑茶、ジュース、ココア）から2種類を選びます。これは ${}_4C_2$ で計算できます。

${}_4C_2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

(6) 特定の男子2人が必ず選ばれるので、残りの1人の男子は自動的に選ばれません。

よって、残りの3人を選ぶのは女子4人から3人を選ぶことになります。これは ${}_4C_3$ で計算できます。

${}_4C_3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$

別解：${}_4C_3 = {}_4C_{4-3} = {}_4C_1 = 4$

3. 最終的な答え

(1) 120通り

(2) 15通り

(3) 21通り

(4) 10通り

(5) 6通り

(6) 4通り