組み合わせの問題集です。以下の6つの問題があります。 (1) 10人の中から3人の委員を選ぶ方法 (2) アルファベットA, B, C, D, E, Fの中から2つ選ぶ方法 (3) 異なる7個の文字から5個の文字を選ぶ方法 (4) サッカーのチームが5チームあるとき、どのチームも互いに試合をする方法 (5) コーヒー、紅茶、緑茶、ジュース、ココアの中から3種類を選ぶとき、コーヒーが必ず選ばれる方法 (6) 男子3人、女子4人の計7人の中から5人選ぶとき、特定の男子2人が選ばれる方法

離散数学組み合わせ順列組合せ論二項係数
2025/6/27

1. 問題の内容

組み合わせの問題集です。以下の6つの問題があります。
(1) 10人の中から3人の委員を選ぶ方法
(2) アルファベットA, B, C, D, E, Fの中から2つ選ぶ方法
(3) 異なる7個の文字から5個の文字を選ぶ方法
(4) サッカーのチームが5チームあるとき、どのチームも互いに試合をする方法
(5) コーヒー、紅茶、緑茶、ジュース、ココアの中から3種類を選ぶとき、コーヒーが必ず選ばれる方法
(6) 男子3人、女子4人の計7人の中から5人選ぶとき、特定の男子2人が選ばれる方法

2. 解き方の手順

(1) 10人の中から3人を選ぶ組み合わせなので、10C3{}_{10}C_3を計算します。
10C3=10!3!(103)!=10×9×83×2×1=10×3×4=120{}_{10}C_3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120
(2) 6個のアルファベットから2個を選ぶ組み合わせなので、6C2{}_6C_2を計算します。
6C2=6!2!(62)!=6×52×1=15{}_6C_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15
(3) 7個の文字から5個を選ぶ組み合わせなので、7C5{}_7C_5を計算します。
7C5=7!5!(75)!=7×62×1=21{}_7C_5 = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21
別解:7C5=7C75=7C2=7×62×1=21{}_7C_5 = {}_7C_{7-5} = {}_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21
(4) 5チームから2チームを選ぶ組み合わせなので、5C2{}_5C_2を計算します。
5C2=5!2!(52)!=5×42×1=10{}_5C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10
(5) コーヒーが必ず選ばれるので、残りの4種類(紅茶、緑茶、ジュース、ココア)から2種類を選びます。これは 4C2{}_4C_2 で計算できます。
4C2=4!2!(42)!=4×32×1=6{}_4C_2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6
(6) 特定の男子2人が必ず選ばれるので、残りの1人の男子は自動的に選ばれません。
よって、残りの3人を選ぶのは女子4人から3人を選ぶことになります。これは 4C3{}_4C_3 で計算できます。
4C3=4!3!(43)!=4×3×23×2×1=4{}_4C_3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4
別解:4C3=4C43=4C1=4{}_4C_3 = {}_4C_{4-3} = {}_4C_1 = 4

3. 最終的な答え

(1) 120通り
(2) 15通り
(3) 21通り
(4) 10通り
(5) 6通り
(6) 4通り

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