与えられた関数の導関数を求める問題です。特に、1.3のA, B、1.4のA, B, C, 1.5のA, B, C, 1.6の問題について解答します。

1. 問題の内容

与えられた関数の導関数を求める問題です。特に、1.3のA, B、1.4のA, B, C, 1.5のA, B, C, 1.6の問題について解答します。

2. 解き方の手順

1.3 A: 合成関数の微分法を用いる。$f(x) = (3x^2 + 2x + 1)^5$ の導関数は $f'(x) = 5(3x^2 + 2x + 1)^4 \cdot (6x + 2) = 10(3x+1)(3x^2+2x+1)^4$

1.3 B: 合成関数の微分法を用いる。$f(x) = \sqrt{2x^2 + 1} = (2x^2 + 1)^{1/2}$ の導関数は $f'(x) = \frac{1}{2}(2x^2 + 1)^{-1/2} \cdot 4x = \frac{2x}{\sqrt{2x^2+1}}$

1.4 A: 合成関数の微分法を用いる。$f(x) = -\sin(x^2 + 1)$ の導関数は $f'(x) = -\cos(x^2 + 1) \cdot 2x = -2x\cos(x^2+1)$

1.4 B: 合成関数の微分法を用いる。$f(x) = \cos^2(2x)$ の導関数は $f'(x) = 2\cos(2x) \cdot (-\sin(2x)) \cdot 2 = -4\cos(2x)\sin(2x) = -2\sin(4x)$

1.4 C: 商の微分法を用いる。$f(x) = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$ の導関数は $f'(x) = \frac{\cos x (1 + \cos x) - \sin x (-\sin x)}{(1 + \cos x)^2} = \frac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(1 + \cos x)^2} = \frac{\cos x + 1}{(1 + \cos x)^2} = \frac{1}{1 + \cos x}$

1.5 A: 合成関数の微分法を用いる。$f(x) = \log|3x^2 + 2x + 1|$ の導関数は $f'(x) = \frac{6x + 2}{3x^2 + 2x + 1}$

1.5 B: 合成関数の微分法を用いる。$f(x) = -(2x+1)e^x$ の導関数は $f'(x) = -2e^x-(2x+1)e^x = -(2x+3)e^x$

1.5 C: 商の微分法を用いる。$f(x) = \frac{e^x}{e^x + e^{-x}}$ の導関数は $f'(x) = \frac{e^x(e^x + e^{-x}) - e^x(e^x - e^{-x})}{(e^x + e^{-x})^2} = \frac{e^{2x} + 1 - e^{2x} + 1}{(e^x + e^{-x})^2} = \frac{2}{(e^x + e^{-x})^2}$

1.6 $f(x) = x^6$ の第4次導関数を求める。

$f'(x) = 6x^5$

$f''(x) = 30x^4$

$f'''(x) = 120x^3$

$f^{(4)}(x) = 360x^2$

$f^{(4)}(1) = 360(1)^2 = 360$

3. 最終的な答え

1.3 A: $f'(x) = 5(3x^2 + 2x + 1)^4 (6x + 2)$

1.3 B: $f'(x) = \frac{2x}{\sqrt{2x^2+1}}$

1.4 A: $f'(x) = -2x\cos(x^2+1)$

1.4 B: $f'(x) = -2\sin(4x)$

1.4 C: $f'(x) = \frac{1}{1 + \cos x}$

1.5 A: $f'(x) = \frac{6x + 2}{3x^2 + 2x + 1}$

1.5 B: $f'(x) = -(2x+3)e^x$

1.5 C: $f'(x) = \frac{2}{(e^x + e^{-x})^2}$

1.6: $f^{(4)}(1) = 360$