与えられた3つの行列式を計算する問題です。 (1) $\begin{vmatrix} 2 & 3 & -3 \\ -1 & -1 & 0 \\ 7 & 5 & 7 \end{vmatrix}$ (2) $\begin{vmatrix} 1 & 5 & 2 \\ 4 & -3 & 6 \\ -1 & 2 & -1 \end{vmatrix}$ (3) $\begin{vmatrix} 10 & 20 & 30 \\ 4 & 5 & 7 \\ 1004 & 2005 & 3006 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた3つの行列式を計算する問題です。

(1) $\begin{vmatrix} 2 & 3 & -3 \\ -1 & -1 & 0 \\ 7 & 5 & 7 \end{vmatrix}$

(2) $\begin{vmatrix} 1 & 5 & 2 \\ 4 & -3 & 6 \\ -1 & 2 & -1 \end{vmatrix}$

(3) $\begin{vmatrix} 10 & 20 & 30 \\ 4 & 5 & 7 \\ 1004 & 2005 & 3006 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

(1)

行列式を計算します。第3列で展開します。

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & -3 \\ -1 & -1 & 0 \\ 7 & 5 & 7 \end{vmatrix} = -3 \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 7 & 5 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 7 & 5 \end{vmatrix} + 7 \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -1 \end{vmatrix}$

$= -3((-1)(5) - (-1)(7)) + 7((2)(-1) - (3)(-1))$

$= -3(-5 + 7) + 7(-2 + 3)$

$= -3(2) + 7(1)$

$= -6 + 7$

$= 1$

(2)

行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 1 & 5 & 2 \\ 4 & -3 & 6 \\ -1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 1\begin{vmatrix} -3 & 6 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} - 5\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} + 2\begin{vmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}$

$= 1((-3)(-1) - (6)(2)) - 5((4)(-1) - (6)(-1)) + 2((4)(2) - (-3)(-1))$

$= 1(3 - 12) - 5(-4 + 6) + 2(8 - 3)$

$= 1(-9) - 5(2) + 2(5)$

$= -9 - 10 + 10$

$= -9$

(3)

行列式を計算します。第1行から10をくくりだします。

$\begin{vmatrix} 10 & 20 & 30 \\ 4 & 5 & 7 \\ 1004 & 2005 & 3006 \end{vmatrix} = 10 \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 7 \\ 1004 & 2005 & 3006 \end{vmatrix}$

さらに、第3列を第1列と第2列の線形結合で表します。

第3列 = 第1列 + 第2列

$\begin{vmatrix} 10 & 20 & 30 \\ 4 & 5 & 7 \\ 1004 & 2005 & 3006 \end{vmatrix} = 10 \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1+2 \\ 4 & 5 & 4+5 \\ 1004 & 2005 & 1004+2005 \end{vmatrix}$

$= 10 \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 4 & 5 & 4 \\ 1004 & 2005 & 1004 \end{vmatrix} + 10 \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 4 & 5 & 5 \\ 1004 & 2005 & 2005 \end{vmatrix}$

同一の列が存在するので、それぞれの行列式は0になります。

したがって、

$\begin{vmatrix} 10 & 20 & 30 \\ 4 & 5 & 7 \\ 1004 & 2005 & 3006 \end{vmatrix} = 0$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) -9

(3) 0