与えられた6つの行列の行列式を計算します。

1. 問題の内容

与えられた6つの行列の行列式を計算します。

2. 解き方の手順

(1) 3x3行列の行列式を計算します。サラスの公式、もしくは余因子展開を利用します。

(2) 3x3行列の行列式を計算します。サラスの公式、もしくは余因子展開を利用します。

(3) 3x3行列の行列式を計算します。列の性質を利用して計算を簡単にします。

(4) 4x4行列の行列式を計算します。三角行列の行列式は対角成分の積であることを利用します。

(5) 4x4行列の行列式を計算します。余因子展開を利用して計算を簡単にします。

(6) 5x5行列の行列式を計算します。三角行列の行列式は対角成分の積であることを利用します。

(1)

行列式は

$2(-1*7 - 0*5) - 3(-1*7 - 0*7) + (-3)(-1*5 - (-1)*7)$

$=2(-7) - 3(-7) -3(-5 + 7)$

$=-14 + 21 -6 = 1$

(2)

行列式は

$1((-3)*(-1) - 6*2) - 5(4*(-1) - 6*(-1)) + 2(4*2 - (-3)*(-1))$

$=1(3-12) - 5(-4 + 6) + 2(8-3)$

$=-9 - 10 + 10 = -9$

(3)

第1列の-2倍を第2列に、第1列の-3倍を第3列に加えると、

$\begin{vmatrix} 10 & 0 & 0 \\ 4 & -3 & -5 \\ 1004 & -1003 & -2006 \end{vmatrix}$

$=10((-3)*(-2006) - (-5)*(-1003)) = 10(6018 - 5015) = 10(1003) = 10030$

(4)

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{vmatrix}$

行列式は

$1 \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix}$

$=1 (1*(1-4) - 2(2-0) ) - 2 (2(1-4))$

$= 1(-3 - 4) - 2 (2(-3))$

$= -7 + 12 = 5$

(5)

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 6 & 1 \\ -1 & -1 & 0 & 0 \\ 7 & 5 & 4 & 7 \end{vmatrix}$

3列目で余因子展開すると

$6 \begin{vmatrix} 2 & 3 & -3 \\ -1 & -1 & 0 \\ 7 & 5 & 7 \end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} 2 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 0 \end{vmatrix}$

$=6(2(-7-0) -3(-7-0) -3(-5+7)) - 4(-1(2(-1)-3(-1)))$

$=6(-14 + 21 - 6) -4(-1(-2+3))$

$=6(1) - 4(-1(1))$

$=6+4=10$

(6)

$\begin{vmatrix} 3 & 5 & 1 & 2 & -1 \\ 2 & 6 & 0 & 9 & 1 \\ 0 & 0 & 7 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -6 \end{vmatrix}$

5行目で余因子展開すると

$(-6) \begin{vmatrix} 3 & 5 & 1 & 2 \\ 2 & 6 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 7 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 2 \end{vmatrix}$

4行目で余因子展開すると

$(-6)(3(3*7-2*7)) = (-6) (7 \begin{vmatrix} 3 & 5 & 2 \\ 2 & 6 & 9 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} -1 * \begin{vmatrix} 3 & 5 & 1 \\ 2 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} )$

$= (-6)(7 * 2(18-10) -1 * 3(18-10) )$

$= (-6) (14(8) - 3(8) )$

$= (-6)(112 - 24) = (-6)(88) = -528$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) -9

(3) 10030

(4) 5

(5) 10

(6) -528