2次不等式 $x^2 - (a+3)x + 3a < 0$ を満たす整数 $x$ がちょうど2個だけ存在するような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次不等式 $x^2 - (a+3)x + 3a < 0$ を満たす整数 $x$ がちょうど2個だけ存在するような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次不等式を因数分解します。

$x^2 - (a+3)x + 3a = (x-a)(x-3)$

したがって、不等式は $(x-a)(x-3) < 0$ となります。

この不等式を満たす $x$ の範囲は、$a<3$ のとき $a<x<3$、$a>3$ のとき $3<x<a$、$a=3$ のとき解なしとなります。

$x$ が整数であるという条件から、$a<3$ のとき、$a$ と $3$ の間に整数が2個だけ存在するような $a$ の範囲を求めます。

$a>3$ のとき、$3$ と $a$ の間に整数が2個だけ存在するような $a$ の範囲を求めます。

(i) $a<3$ の場合

$a<x<3$ を満たす整数 $x$ が2個であるためには、$x=1,2$となる必要があります。

したがって、$a < 1$ かつ $a \ge 0$ であれば、$x=1,2$のみが解となります。

よって、$0 \le a < 1$ が必要となります。

このとき、$x=1,2$は不等式を満たし、$3$は満たさないので条件を満たします。

また、$a$が整数の場合は$a=0$の場合です。このとき$0<x<3$なので$x=1,2$で条件を満たします。

(ii) $a>3$ の場合

$3<x<a$ を満たす整数 $x$ が2個であるためには、$x=4,5$となる必要があります。

したがって、$5 < a \le 6$ が必要となります。

このとき、$x=4,5$は不等式を満たし、$3$は満たさないので条件を満たします。

また、$a$が整数の場合は$a=6$の場合です。このとき$3<x<6$なので$x=4,5$で条件を満たします。

3. 最終的な答え

$0 \le a < 1$ または $5 < a \le 6$