全体集合$U$の部分集合$A$, $B$について、$n(A) + n(B) = 10$ かつ $n(A \cup B) = 7$であるとき、$n(\overline{A} \cap B) + n(A \cap \overline{B})$を求める問題です。

1. 問題の内容

全体集合$U$の部分集合$A$, $B$について、$n(A) + n(B) = 10$ かつ $n(A \cup B) = 7$であるとき、$n(\overline{A} \cap B) + n(A \cap \overline{B})$を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$A \cup B$の要素数に関する公式を思い出します。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

この公式に与えられた値を代入します。

$7 = 10 - n(A \cap B)$

$n(A \cap B) = 10 - 7 = 3$

次に、$n(\overline{A} \cap B) + n(A \cap \overline{B})$を求めます。

これは$A$と$B$の対称差の要素数を求める問題です。

$n(\overline{A} \cap B)$は$B$にのみ含まれる要素の数、$n(A \cap \overline{B})$は$A$にのみ含まれる要素の数です。

これらを足すと$A \cup B$から$A \cap B$を取り除いた要素の数と一致します。

または、$n(\overline{A} \cap B) = n(B) - n(A \cap B)$ および $n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B)$を利用します。

したがって、

$n(\overline{A} \cap B) + n(A \cap \overline{B}) = n(B) - n(A \cap B) + n(A) - n(A \cap B)$

$= n(A) + n(B) - 2n(A \cap B)$

$= 10 - 2(3)$

$= 10 - 6 = 4$

あるいは、$A \cup B$の要素数を以下のように分解することを考えます。

$n(A \cup B) = n(\overline{A} \cap B) + n(A \cap \overline{B}) + n(A \cap B)$

これに与えられた値と既に求めた$n(A \cap B)$を代入します。

$7 = n(\overline{A} \cap B) + n(A \cap \overline{B}) + 3$

よって、

$n(\overline{A} \cap B) + n(A \cap \overline{B}) = 7 - 3 = 4$

3. 最終的な答え

$n(\overline{A} \cap B) + n(A \cap \overline{B}) = 4$