全体集合$U$の部分集合$A$, $B$について、$n(A) + n(B) = 10$ かつ $n(A \cup B) = 7$であるとき、$n(\overline{A} \cap B) + n(A \cap \overline{B})$を求める問題です。

離散数学集合集合演算要素数対称差
2025/6/27

1. 問題の内容

全体集合UUの部分集合AA, BBについて、n(A)+n(B)=10n(A) + n(B) = 10 かつ n(AB)=7n(A \cup B) = 7であるとき、n(AB)+n(AB)n(\overline{A} \cap B) + n(A \cap \overline{B})を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、ABA \cup Bの要素数に関する公式を思い出します。
n(AB)=n(A)+n(B)n(AB)n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)
この公式に与えられた値を代入します。
7=10n(AB)7 = 10 - n(A \cap B)
n(AB)=107=3n(A \cap B) = 10 - 7 = 3
次に、n(AB)+n(AB)n(\overline{A} \cap B) + n(A \cap \overline{B})を求めます。
これはAABBの対称差の要素数を求める問題です。
n(AB)n(\overline{A} \cap B)BBにのみ含まれる要素の数、n(AB)n(A \cap \overline{B})AAにのみ含まれる要素の数です。
これらを足すとABA \cup BからABA \cap Bを取り除いた要素の数と一致します。
または、n(AB)=n(B)n(AB)n(\overline{A} \cap B) = n(B) - n(A \cap B) および n(AB)=n(A)n(AB)n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B)を利用します。
したがって、
n(AB)+n(AB)=n(B)n(AB)+n(A)n(AB)n(\overline{A} \cap B) + n(A \cap \overline{B}) = n(B) - n(A \cap B) + n(A) - n(A \cap B)
=n(A)+n(B)2n(AB)= n(A) + n(B) - 2n(A \cap B)
=102(3)= 10 - 2(3)
=106=4= 10 - 6 = 4
あるいは、ABA \cup Bの要素数を以下のように分解することを考えます。
n(AB)=n(AB)+n(AB)+n(AB)n(A \cup B) = n(\overline{A} \cap B) + n(A \cap \overline{B}) + n(A \cap B)
これに与えられた値と既に求めたn(AB)n(A \cap B)を代入します。
7=n(AB)+n(AB)+37 = n(\overline{A} \cap B) + n(A \cap \overline{B}) + 3
よって、
n(AB)+n(AB)=73=4n(\overline{A} \cap B) + n(A \cap \overline{B}) = 7 - 3 = 4

3. 最終的な答え

n(AB)+n(AB)=4n(\overline{A} \cap B) + n(A \cap \overline{B}) = 4

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