$n$ を自然数とし、$1$ から $n$ までの異なる $n$ 個の自然数からなる集合を $N$ とする。$N$ の2つの部分集合 $P_1, P_2$ は $P_1 \cap P_2 = \emptyset$ かつ $P_1 \cup P_2 = N$ を満たすとする。$P_1$ の要素の総和を $S_1$, $P_2$ の要素の総和を $S_2$ とするとき, $S_1 = S_2$ を満たす $P_1, P_2$ が存在するような $n$ の値をすべて求めよ。

1. 問題の内容

$n$ を自然数とし、$1$ から $n$ までの異なる $n$ 個の自然数からなる集合を $N$ とする。$N$ の2つの部分集合 $P_1, P_2$ は $P_1 \cap P_2 = \emptyset$ かつ $P_1 \cup P_2 = N$ を満たすとする。$P_1$ の要素の総和を $S_1$, $P_2$ の要素の総和を $S_2$ とするとき, $S_1 = S_2$ を満たす $P_1, P_2$ が存在するような $n$ の値をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

$P_1 \cap P_2 = \emptyset$ かつ $P_1 \cup P_2 = N$ より、$S_1 + S_2 = 1 + 2 + \dots + n$ である。

$S_1 = S_2$ であることから、$2S_1 = 1 + 2 + \dots + n$ が成り立つ。

$1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ であるから、$2S_1 = \frac{n(n+1)}{2}$、すなわち $S_1 = \frac{n(n+1)}{4}$ となる。

$S_1$ は整数である必要があるので、$\frac{n(n+1)}{4}$ は整数でなければならない。

したがって、$n(n+1)$ は 4 の倍数である必要がある。

$n$ が 4 で割り切れるとき、$n(n+1)$ は 4 の倍数となる。

$n+1$ が 4 で割り切れるとき、$n(n+1)$ は 4 の倍数となる。

したがって、$n \equiv 0 \pmod{4}$ または $n \equiv 3 \pmod{4}$ のとき、$S_1 = S_2$ となる $P_1$ と $P_2$ が存在する可能性がある。

次に、実際に $S_1 = S_2$ となる $P_1$ と $P_2$ が存在することを示す。

$n=3$ のとき、$N = \{1, 2, 3\}$ であり、$S_1 = S_2 = \frac{3(3+1)}{4} = 3$ となる。

$P_1 = \{3\}$、$P_2 = \{1, 2\}$ とすれば、$S_1 = 3$, $S_2 = 1+2 = 3$ となり、条件を満たす。

$n=4$ のとき、$N = \{1, 2, 3, 4\}$ であり、$S_1 = S_2 = \frac{4(4+1)}{4} = 5$ となる。

$P_1 = \{1, 4\}$、$P_2 = \{2, 3\}$ とすれば、$S_1 = 1+4 = 5$, $S_2 = 2+3 = 5$ となり、条件を満たす。

$n=7$ のとき、$N = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ であり、$S_1 = S_2 = \frac{7(7+1)}{4} = 14$ となる。

$P_1 = \{1, 6, 7\}$、$P_2 = \{2, 3, 4, 5\}$とすれば、$S_1 = 1+6+7 = 14$, $S_2 = 2+3+4+5 = 14$ となり、条件を満たす。

$n=8$ のとき、$N = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ であり、$S_1 = S_2 = \frac{8(8+1)}{4} = 18$ となる。

$P_1 = \{1, 2, 3, 4, 8\}$、$P_2 = \{5, 6, 7\}$ とすれば、$S_1 = 1+2+3+4+8 = 18$, $S_2 = 5+6+7 = 18$ となり、条件を満たす。

3. 最終的な答え

$n \equiv 0 \pmod{4}$ または $n \equiv 3 \pmod{4}$ すなわち、$n = 4k$ または $n = 4k+3$ (ただし $k$ は非負整数)