問題は、以下の3つの条件を満たす $a$ と $b$ の例をそれぞれ1つずつ挙げることです。 (1) $a, b$ は自然数で、$a - b$ と $\frac{a}{b}$ がいずれも自然数でない。 (2) $a, b$ は整数で、$\frac{a}{b}$ が整数でない。 (3) $a, b$ は異なる無理数で、$ab$ が有理数である。

1. 問題の内容

問題は、以下の3つの条件を満たす $a$ と $b$ の例をそれぞれ1つずつ挙げることです。

(1) $a, b$ は自然数で、$a - b$ と $\frac{a}{b}$ がいずれも自然数でない。

(2) $a, b$ は整数で、$\frac{a}{b}$ が整数でない。

(3) $a, b$ は異なる無理数で、$ab$ が有理数である。

2. 解き方の手順

(1) $a, b$ は自然数で、$a - b$ と $\frac{a}{b}$ がいずれも自然数でない例を考えます。

$a - b$ が自然数でないためには、$a \le b$ である必要があります。

$\frac{a}{b}$ が自然数でないためには、$a$ が $b$ の倍数でない必要があります。

例えば、$a = 2$、$b = 3$ とすると、$a - b = 2 - 3 = -1$ (自然数ではない) であり、$\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ (自然数ではない) です。

(2) $a, b$ は整数で、$\frac{a}{b}$ が整数でない例を考えます。

$a$ が $b$ で割り切れないようにします。

例えば、$a = 1$、$b = 2$ とすると、$\frac{a}{b} = \frac{1}{2}$ (整数ではない) です。

(3) $a, b$ は異なる無理数で、$ab$ が有理数である例を考えます。

例えば、$a = \sqrt{2}$、$b = 2\sqrt{2}$ とすると、$ab = \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 2 \cdot 2 = 4$ (有理数) です。$\sqrt{2}$と$2\sqrt{2}$はいずれも無理数であり，かつ異なっています。

3. 最終的な答え

(1) $a = 2$, $b = 3$

(2) $a = 1$, $b = 2$

(3) $a = \sqrt{2}$, $b = 2\sqrt{2}$