$99^{100}$ の下位5桁を求める問題です。

1. 問題の内容

$99^{100}$ の下位5桁を求める問題です。

2. 解き方の手順

下位5桁を求めることは、$10^5 = 100000$ を法として考えることと同じです。つまり、$99^{100} \pmod{100000}$ を計算します。

まず、$99 = 100 - 1$ であることに注目します。二項定理を用いると、

$$99^{100} = (100 - 1)^{100} = \sum_{k=0}^{100} \binom{100}{k} (100)^k (-1)^{100-k}$$

となります。

$100000 = 10^5$ を法とするので、$k \ge 3$ の項は $100^k$ が $10^5$ で割り切れるため、$0 \pmod{100000}$ となります。したがって、$k = 0, 1, 2$ の項のみを考慮すれば十分です。

$k=0$ のとき: $\binom{100}{0} (100)^0 (-1)^{100-0} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

$k=1$ のとき: $\binom{100}{1} (100)^1 (-1)^{100-1} = 100 \cdot 100 \cdot (-1) = -10000$

$k=2$ のとき: $\binom{100}{2} (100)^2 (-1)^{100-2} = \frac{100 \cdot 99}{2} \cdot 10000 \cdot 1 = 4950 \cdot 10000 = 49500000$

したがって、

$$99^{100} \equiv 1 - 10000 + 49500000 \pmod{100000}$$

$$99^{100} \equiv 1 - 10000 + 0 \pmod{100000}$$

$$99^{100} \equiv -9999 \pmod{100000}$$

$-9999 \equiv 90001 \pmod{100000}$ であるので、$99^{100} \equiv 90001 \pmod{100000}$

3. 最終的な答え

90001