問題は、125!の末尾に0が何個連続して並ぶか（イ）を求め、次に $n!$ が $10^{40}$ で割り切れるような最小の $n$ の値（ウ）を求めるものです。

1. 問題の内容

問題は、125!の末尾に0が何個連続して並ぶか（イ）を求め、次に $n!$ が $10^{40}$ で割り切れるような最小の $n$ の値（ウ）を求めるものです。

2. 解き方の手順

(イ) 125!の末尾に連続する0の個数を求める。

階乗の末尾に続く0の個数は、その数の階乗に含まれる因数5の個数によって決まります。

なぜなら、0を作るためには2と5のペアが必要であり、通常、2の因子の数よりも5の因子の数の方が少ないためです。

125の中に含まれる5の倍数の個数を求めます。

$125 \div 5 = 25$

次に、25の中に含まれる5の倍数の個数を求めます。

$25 \div 5 = 5$

さらに、5の中に含まれる5の倍数の個数を求めます。

$5 \div 5 = 1$

したがって、125!に含まれる5の因子の合計数は、25 + 5 + 1 = 31個です。

よって、125!の末尾に連続する0の個数は31個です。

(ウ) $n!$ が $10^{40}$ で割り切れる最小の $n$ の値を求める。

$10^{40}$ で割り切れるということは、$n!$ は少なくとも40個の5の因子を含んでいる必要があります。

$n$ を探し、$n!$ に含まれる5の因子の数が40以上になる最小の $n$ を見つける必要があります。

まず、$n!$ に含まれる5の個数の近似値を計算してみましょう。$n/5 + n/25 + n/125 + ...$ の総和が40以上になるような $n$ を探します。

$n$ が160の場合、5の因子数は、$160/5 + 160/25 + 160/125 = 32 + 6.4 + 1.28 = 39.68 \approx 39$

$n$ が165の場合、5の因子数は、$165/5 + 165/25 + 165/125 = 33 + 6.6 + 1.32 = 40.92 \approx 40$

$160!$に含まれる5の個数: $160/5 + 160/25 + 160/125 = 32 + 6 + 1 = 39$

$161!$に含まれる5の個数: $161/5 + 161/25 + 161/125 = 32 + 6 + 1 = 39$

$162!$に含まれる5の個数: $162/5 + 162/25 + 162/125 = 32 + 6 + 1 = 39$

$163!$に含まれる5の個数: $163/5 + 163/25 + 163/125 = 32 + 6 + 1 = 39$

$164!$に含まれる5の個数: $164/5 + 164/25 + 164/125 = 32 + 6 + 1 = 39$

$165!$に含まれる5の個数: $165/5 + 165/25 + 165/125 = 33 + 6 + 1 = 40$

したがって、$n!$ が $10^{40}$ で割り切れる最小の $n$ の値は165です。

3. 最終的な答え

イ: 31

ウ: 165