正の整数 $n$ が与えられ、$n$ と $12$ の最小公倍数が $168$ であるような $n$ を全て求める問題です。

1. 問題の内容

正の整数 $n$ が与えられ、$n$ と $12$ の最小公倍数が $168$ であるような $n$ を全て求める問題です。

2. 解き方の手順

$n$ と $12$ の最小公倍数を $\text{lcm}(n, 12)$ と表します。問題文より、$\text{lcm}(n, 12) = 168$ です。

まず、$12$ と $168$ を素因数分解します。

$12 = 2^2 \cdot 3$

$168 = 2^3 \cdot 3 \cdot 7$

$n$ を素因数分解すると、$n = 2^a \cdot 3^b \cdot 7^c$ と表せます。ここで、$a, b, c$ は非負整数です。

$\text{lcm}(n, 12) = 168$ より、

$\text{lcm}(2^a \cdot 3^b \cdot 7^c, 2^2 \cdot 3^1) = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 7^1$

最小公倍数の性質から、それぞれの素因数について、指数の大きい方が最小公倍数の指数になります。

したがって、

$\max(a, 2) = 3$

$\max(b, 1) = 1$

$\max(c, 0) = 1$

これらの式から、$a, b, c$ の値を求めます。

$\max(a, 2) = 3$ より、$a = 3$

$\max(b, 1) = 1$ より、$b = 0$ または $b = 1$

$\max(c, 0) = 1$ より、$c = 1$

したがって、$n = 2^3 \cdot 3^b \cdot 7^1$ となり、$b = 0$ または $b = 1$ です。

$b = 0$ のとき、$n = 2^3 \cdot 3^0 \cdot 7^1 = 8 \cdot 1 \cdot 7 = 56$

$b = 1$ のとき、$n = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 7^1 = 8 \cdot 3 \cdot 7 = 168$

3. 最終的な答え

$n = 56, 168$