自然数の列を、第$n$群に$2^{n-1}$個の数が入るように群に分ける。 (1) 第$n$群の最初の数を$n$の式で表す。 (2) 第1群から第$n$群までに入るすべての数の和を求める。 (3) 150は第何群の何番目の数か。

1. 問題の内容

自然数の列を、第$n$群に$2^{n-1}$個の数が入るように群に分ける。

(1) 第$n$群の最初の数を$n$の式で表す。

(2) 第1群から第$n$群までに入るすべての数の和を求める。

(3) 150は第何群の何番目の数か。

2. 解き方の手順

(1) 第$n$群の最初の数を求める。

第$n$群の最初の数は、第1群から第$n-1$群までに入る数の個数に1を加えたものである。

第$k$群には$2^{k-1}$個の数が入るので、第1群から第$n-1$群までに入る数の個数は

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = 1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{n-2} = \frac{1(2^{n-1} - 1)}{2 - 1} = 2^{n-1} - 1$

したがって、第$n$群の最初の数は $2^{n-1} - 1 + 1 = 2^{n-1}$

(2) 第1群から第$n$群までに入るすべての数の和を求める。

第$k$群には$2^{k-1}$個の数が入る。

第$k$群の最初の数は$2^{k-1}$なので、第$k$群の最後の数は$2^{k-1} + 2^{k-1} - 1 = 2^k - 1$

第$k$群の和は

$\frac{2^{k-1}(2^{k-1} + 2^k - 1)}{2} = \frac{2^{k-1}(3 \cdot 2^{k-1} - 1)}{2} = 3 \cdot 2^{2k-3} - 2^{k-2}$

したがって、第1群から第$n$群までに入るすべての数の和は

$\sum_{k=1}^n (3 \cdot 2^{2k-3} - 2^{k-2}) = 3 \sum_{k=1}^n 2^{2k-3} - \sum_{k=1}^n 2^{k-2}$

$= 3(\frac{1}{2} + 2 + 8 + \dots + 2^{2n-3}) - (\frac{1}{2} + 1 + 2 + \dots + 2^{n-2}) = 3 \cdot \frac{\frac{1}{2}(4^n - 1)}{4 - 1} - \frac{\frac{1}{2}(2^n - 1)}{2 - 1}$

$= \frac{1}{2} \cdot (4^n - 1) - \frac{1}{2} \cdot (2^n - 1) = \frac{4^n - 2^n}{2} = \frac{2^{2n} - 2^n}{2} = 2^{2n-1} - 2^{n-1}$

(3) 150が第何群の何番目の数かを求める。

まず、第$n$群の最後の数は $2^n - 1$ である。

$2^7 - 1 = 127$

$2^8 - 1 = 255$

したがって、150は第8群にある。

第8群の最初の数は $2^7 = 128$

したがって、150は第8群の $150 - 128 + 1 = 23$ 番目の数である。

3. 最終的な答え

(1) $2^{n-1}$

(2) $2^{2n-1} - 2^{n-1}$

(3) 第8群の23番目