## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

以下の8つの問題を解きます。

1. 2進数1024桁を10進数で表すと何桁になるか。

2. $2^{32}$ を10進数で表すと何桁になるか。

3. $65^{10}$ を8で割った余りを求めよ。

4. $2^{60}$ を7で割った余りを求めよ。

5. $13^{100}$ の一の位を求めよ。

6. 直角三角形において、短辺の長さが12と16のとき、斜辺の長さを求めよ。

7. 直角三角形において、短辺の長さが7と24のとき、斜辺の長さを求めよ。

8. 直角三角形において、斜辺の長さが7、1つの短辺の長さが6のとき、残りの辺の長さを求めよ。

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2. 解き方の手順

1. **桁数の計算 (2進数から10進数への変換):**

* 2進数1024桁は $2^{1023}$ を表します。

* 10進数の桁数を求めるには、常用対数を用います。 $log_{10}(2^{1023}) = 1023 * log_{10}(2)$

* $log_{10}(2) \approx 0.3010$ なので、$1023 * 0.3010 \approx 307.923$

* 整数部分に1を足すと桁数になるので、308桁。

2. **桁数の計算 (2のべき乗):**

* $2^{32}$ の10進数の桁数を求めるには、常用対数を用います。$log_{10}(2^{32}) = 32 * log_{10}(2)$

* $log_{10}(2) \approx 0.3010$ なので、$32 * 0.3010 \approx 9.632$

* 整数部分に1を足すと桁数になるので、10桁。

3. **合同式の計算 (65の10乗を8で割った余り):**

* 65を8で割った余りは1なので、$65 \equiv 1 \pmod{8}$

* したがって、$65^{10} \equiv 1^{10} \equiv 1 \pmod{8}$

* 余りは1。

4. **合同式の計算 (2の60乗を7で割った余り):**

* $2^3 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$

* $2^{60} = (2^3)^{20} \equiv 1^{20} \equiv 1 \pmod{7}$

* 余りは1。

5. **1の位の計算 (13の100乗):**

* 13の一の位は3なので、$3^1 = 3, 3^2 = 9, 3^3 = 27, 3^4 = 81$

* 一の位は3, 9, 7, 1 が繰り返される。

* $100 \div 4 = 25$ なので、100乗の一の位は1。

6. **三平方の定理 (斜辺の計算):**

* 三平方の定理より、斜辺の長さ $c$ は $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ で計算できる。

* $c = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$

7. **三平方の定理 (斜辺の計算):**

* 三平方の定理より、斜辺の長さ $c$ は $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ で計算できる。

* $c = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$

8. **三平方の定理 (残りの辺の計算):**

* 三平方の定理より、$a^2 + b^2 = c^2$ (cは斜辺)

* $6^2 + b^2 = 7^2$

* $36 + b^2 = 49$

* $b^2 = 49 - 36 = 13$

* $b = \sqrt{13}$

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3. 最終的な答え

1. 308桁

2. 10桁

3. 1

4. 1

5. 1

6. 20

7. 25

8. ルート(13)