自然数の列を、第 $n$ 群に $2^{n-1}$ 個の数が入るように群に分ける。 (1) 第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表す。 (2) 第1群から第 $n$ 群までに入るすべての数の和を求める。 (3) 150は第何群の何番目の数か。

1. 問題の内容

自然数の列を、第 $n$ 群に $2^{n-1}$ 個の数が入るように群に分ける。

(1) 第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表す。

(2) 第1群から第 $n$ 群までに入るすべての数の和を求める。

(3) 150は第何群の何番目の数か。

2. 解き方の手順

(1) 第 $n$ 群の最初の数を求める。

第 $n$ 群の最初の数は、第1群から第 $n-1$ 群までの項数に1を加えたものである。

第1群から第 $n-1$ 群までの項数は、

$2^0 + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{n-2} = \frac{1-2^{n-1}}{1-2} = 2^{n-1} - 1$ である。

したがって、第 $n$ 群の最初の数は $2^{n-1} - 1 + 1 = 2^{n-1}$ である。

(2) 第1群から第 $n$ 群までに入るすべての数の和を求める。

第 $n$ 群の項数は $2^{n-1}$ である。

第1群から第 $n$ 群までの項数は $2^0 + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{n-1} = \frac{1-2^n}{1-2} = 2^n - 1$ である。

第1群から第 $n$ 群までの数の和は、初項1、末項 $2^n - 1$ の等差数列の和である。

したがって、

$S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{2^n - 1}{2}(1 + (2^n - 1)) = \frac{2^n - 1}{2} \cdot 2^n = 2^{n-1}(2^n - 1)$.

(3) 150が第何群の何番目の数かを求める。

まず、150が第何群に入るかを調べる。

第 $n$ 群の最初の数は $2^{n-1}$ である。

$2^7 = 128$, $2^8 = 256$ であるから、150は第8群に入ると予想される。

第7群までの項数は $2^7 - 1 = 128 - 1 = 127$ である。

第8群の最初の数は $2^7 = 128$ である。

したがって、150は第8群の $150 - 128 + 1 = 23$ 番目の数である。

3. 最終的な答え

(1) 第 $n$ 群の最初の数: $2^{n-1}$

(2) 第1群から第 $n$ 群までの数の和: $2^{n-1}(2^n - 1)$

(3) 150は第8群の23番目の数