$\sqrt{5}$ が無理数であることを用いて、$\sqrt{15} - \sqrt{3}$ が無理数であることを証明する問題です。証明の穴埋め形式になっています。

1. 問題の内容

$\sqrt{5}$ が無理数であることを用いて、$\sqrt{15} - \sqrt{3}$ が無理数であることを証明する問題です。証明の穴埋め形式になっています。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明します。

$\sqrt{15} - \sqrt{3}$ が無理数でないと仮定すると、$\sqrt{15} - \sqrt{3}$ は有理数である。（ケ）

$\sqrt{15} - \sqrt{3} = r$ ($r$は有理数) とおくと、 $(\sqrt{15} - \sqrt{3})^2 = r^2$ となります。

$(\sqrt{15} - \sqrt{3})^2 = 15 - 2\sqrt{15}\sqrt{3} + 3 = 18 - 2\sqrt{45} = 18 - 2\sqrt{9 \cdot 5} = 18 - 6\sqrt{5}$

したがって、$18 - 6\sqrt{5} = r^2$ となります。

$-6\sqrt{5} = r^2 - 18$

$\sqrt{5} = \frac{18 - r^2}{6}$ （コ）

$r$ は有理数より、$\frac{18 - r^2}{6}$ も有理数です。

よって、$\sqrt{5}$ が無理数であることに矛盾する。（サ）

したがって、$\sqrt{15} - \sqrt{3}$ は無理数である。（シ）

ケの選択肢は「有理数」または「無理数」なので、上記より「有理数」です。

コは上記より $\sqrt{5}$です

サの選択肢は、$\sqrt{5}$

シの選択肢は「有理数」または「無理数」なので、上記より「無理数」です。

3. 最終的な答え

ケ：有理数

コ：$\sqrt{5}$

サ：$\sqrt{5}$

シ：無理数