自然数 $n$ と $28$ の最小公倍数が $168$ であるような $n$ を全て求める。ただし、$n=ab$ とし、$n$ と $28$ の最大公約数を $a$ とする。

1. 問題の内容

自然数 $n$ と $28$ の最小公倍数が $168$ であるような $n$ を全て求める。ただし、$n=ab$ とし、$n$ と $28$ の最大公約数を $a$ とする。

2. 解き方の手順

まず、$28 = 2^2 \times 7$ である。$n$ と $28$ の最大公約数が $a$ なので、$n = ab$ と表せる。

$n$ と $28$ の最小公倍数は、$a \cdot b \cdot \frac{2^2 \times 7}{a} = 168$ と表せる。

したがって、$b \cdot (2^2 \times 7) = 168$ より、$b \cdot 28 = 168$ となる。

$b = \frac{168}{28} = 6$ となる。よって、$b=6$。

$a$ と $b$ は互いに素である必要はないが、$6$ と $\frac{2^2 \times 7}{a}$ が互いに素である。

つまり、$6$ と $\frac{28}{a}$ が互いに素である。$6 = 2 \times 3$ より、$\frac{28}{a}$ は $2$ の倍数でも $3$ の倍数でもない。

$28$ の約数は、$1, 2, 4, 7, 14, 28$。

したがって、$a$ は $1, 2, 4, 7, 14, 28$ のいずれかである。

$\frac{28}{a}$ はそれぞれ $28, 14, 7, 4, 2, 1$ となる。

$6$ と $28$ は互いに素ではない。

$6$ と $14$ は互いに素ではない。

$6$ と $7$ は互いに素である。

$6$ と $4$ は互いに素ではない。

$6$ と $2$ は互いに素ではない。

$6$ と $1$ は互いに素である。

よって、$\frac{28}{a}$ が互いに素となるのは、$\frac{28}{a} = 7$ または $\frac{28}{a} = 1$ のとき。

したがって、$a = 4$ または $a = 28$。

$n = ab$ なので、$n = 4 \times 6 = 24$ または $n = 28 \times 6 = 168$。

3. 最終的な答え

$n=24, 168$

したがって、a = 4, 28

b = 6

S = 6

答えは、24, 168。

順番に、S=6, a=4, 28, n=24, 168。

8 = 6

9 = 4

13 = 28

14 = 24

18 = 168