$\sqrt{540-20n}$ が整数となるような自然数 $n$ の値をすべて求めよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{540-20n}$ が整数となるような自然数 $n$ の値をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

$\sqrt{540 - 20n}$ が整数となるので、ある整数 $k$ を用いて

$\sqrt{540 - 20n} = k$ とおくことができます。

両辺を2乗すると、

$540 - 20n = k^2$

$20n = 540 - k^2$

$n = \frac{540 - k^2}{20}$

$n$ は自然数なので、$\frac{540 - k^2}{20}$ も自然数である必要があります。

つまり、$540 - k^2$ は20の倍数でなければなりません。

また、$k^2 \geq 0$ かつ $n > 0$ より、

$540 - 20n \geq 0$ なので、$540 \geq 20n$ となり、$n \leq \frac{540}{20} = 27$

また、$n$ は自然数なので、$540 - k^2 > 0$ となり、$k^2 < 540$ を満たさなければなりません。

$k^2$ が20で割り切れるためには、$k^2$ の一の位は0でなければならないので、

$k$ の一の位は0である必要があります。

$k$ は整数であるので、$k$ は $0, 1, 2, \dots, 23$ の範囲の整数でなければなりません。

$k=0$ のとき、$n = \frac{540}{20} = 27$

$k=10$ のとき、$n = \frac{540 - 100}{20} = \frac{440}{20} = 22$

$k=20$ のとき、$n = \frac{540 - 400}{20} = \frac{140}{20} = 7$

$540 - k^2$ が20の倍数であるためには、$540 - k^2 \equiv 0 \pmod{20}$ である必要があります。

$540 \equiv 0 \pmod{20}$ なので、$k^2 \equiv 0 \pmod{20}$

$k^2$ が20の倍数ということは、$k$ は10の倍数である必要があります。

$k$ が10の倍数であるとき、$k = 0, 10, 20$ です。

$k = 30$ とすると、$k^2 = 900 > 540$ なので不適です。

3. 最終的な答え

$n = 7, 22, 27$