ある自然数 $x$ が500未満であり、$x$ を7で割ると1余り、8で割ると3余り、9で割ると5余る。このとき、$x$ を5で割った余りを求める。

1. 問題の内容

ある自然数 $x$ が500未満であり、$x$ を7で割ると1余り、8で割ると3余り、9で割ると5余る。このとき、$x$ を5で割った余りを求める。

2. 解き方の手順

まず、$x$ が満たす条件を式で表す。

$x \equiv 1 \pmod{7}$

$x \equiv 3 \pmod{8}$

$x \equiv 5 \pmod{9}$

これらの合同式を満たす $x$ を探す。

まず、$x \equiv 1 \pmod{7}$ より、$x = 7k + 1$ （$k$ は整数）と表せる。

これを $x \equiv 3 \pmod{8}$ に代入すると、

$7k + 1 \equiv 3 \pmod{8}$

$7k \equiv 2 \pmod{8}$

$-k \equiv 2 \pmod{8}$

$k \equiv -2 \pmod{8}$

$k \equiv 6 \pmod{8}$

したがって、$k = 8l + 6$ （$l$ は整数）と表せる。

これを $x = 7k + 1$ に代入すると、

$x = 7(8l + 6) + 1 = 56l + 42 + 1 = 56l + 43$

次に、$x \equiv 5 \pmod{9}$ に $x = 56l + 43$ を代入する。

$56l + 43 \equiv 5 \pmod{9}$

$56l \equiv -38 \pmod{9}$

$2l \equiv -2 \pmod{9}$

$l \equiv -1 \pmod{9}$

$l \equiv 8 \pmod{9}$

したがって、$l = 9m + 8$ （$m$ は整数）と表せる。

これを $x = 56l + 43$ に代入すると、

$x = 56(9m + 8) + 43 = 504m + 448 + 43 = 504m + 491$

$x$ は500未満なので、$m=0$。

よって、$x = 491$。

$x$ を5で割った余りを求める。

$491 \div 5 = 98 \text{ remainder } 1$

したがって、$x \equiv 1 \pmod{5}$

3. 最終的な答え

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