与えられた行列の行列式を、基本変形を用いて三角行列に変形し、対角成分を掛ける方法で計算する。サラスの公式は使えない。少なくとも一回は列に関する基本変形を用いる。 与えられた行列は以下の通りです。 $ \begin{pmatrix} 3 & 0 & -3 & 6 \\ 5 & 1 & 5 & 4 \\ 2 & 6 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた行列の行列式を、基本変形を用いて三角行列に変形し、対角成分を掛ける方法で計算する。サラスの公式は使えない。少なくとも一回は列に関する基本変形を用いる。

与えられた行列は以下の通りです。

$$

\begin{pmatrix}

3 & 0 & -3 & 6 \\

5 & 1 & 5 & 4 \\

2 & 6 & 1 & 0 \\

2 & 3 & 2 & 1

\end{pmatrix}

$$

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列を$A$とします。

$$

A = \begin{pmatrix}

3 & 0 & -3 & 6 \\

5 & 1 & 5 & 4 \\

2 & 6 & 1 & 0 \\

2 & 3 & 2 & 1

\end{pmatrix}

$$

1. 第1列を基準に、第2列、第3列、第4列を操作して、第1行の成分を0にする。

第2列をそのまま使う（第1行第2列は既に0）。

第3列を第1列に足す (第3列 + 第1列)。

第4列を第1列に-2倍して足す (第4列 - 2*第1列)。

$$

\begin{pmatrix}

3 & 0 & 0 & 0 \\

5 & 1 & 10 & -6 \\

2 & 6 & 3 & -4 \\

2 & 3 & 4 & -3

\end{pmatrix}

$$

2. 第2行を基準に、第3行、第4行を操作して、第2列の成分を0にする。

第3行から第2行の6倍を引く (第3行 - 6 * 第2行)。

第4行から第2行の3倍を引く (第4行 - 3 * 第2行)。

$$

\begin{pmatrix}

3 & 0 & 0 & 0 \\

5 & 1 & 10 & -6 \\

2 & 0 & -57 & 32 \\

2 & 0 & -26 & 15

\end{pmatrix}

$$

3. 第3列を基準に、第4列を操作して、第3行の成分を0にする。

第4列に第3列の32/57倍を足す (第4列 + (32/57) * 第3列)。

$$

\begin{pmatrix}

3 & 0 & 0 & 0 \\

5 & 1 & 10 & 2/57 \\

2 & 0 & -57 & 0 \\

2 & 0 & -26 & -17/57

\end{pmatrix}

$$

この行列の行列式は対角成分の積で計算できます。

行列式 = $3 \times 1 \times (-57) \times (-17/57) = 3 \times 1 \times 17 = 51$

3. 最終的な答え

51