2直線 $y = -2x + 8$ と $y = x + a$ の交点をAとする。点Aからx軸に下ろした垂線とx軸との交点をBとする。 (1) $a = 2$ のとき、線分ABの長さを求めよ。 (2) $AB = 10$ のとき、$a$ の値をすべて求めよ。

1. 問題の内容

2直線 $y = -2x + 8$ と $y = x + a$ の交点をAとする。点Aからx軸に下ろした垂線とx軸との交点をBとする。

(1) $a = 2$ のとき、線分ABの長さを求めよ。

(2) $AB = 10$ のとき、$a$ の値をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a=2$ のとき、2直線の式は $y = -2x + 8$ と $y = x + 2$ となる。

まず、交点Aの座標を求める。

$-2x + 8 = x + 2$

$-3x = -6$

$x = 2$

$y = 2 + 2 = 4$

よって、Aの座標は (2, 4) となる。

BはAからx軸に下ろした垂線との交点なので、Bの座標は (2, 0) となる。

したがって、ABの長さはAのy座標の絶対値なので、AB = $|4-0| = 4$

(2) AB=10のとき、まず交点Aの座標を求める。

$-2x + 8 = x + a$

$-3x = a - 8$

$x = \frac{8 - a}{3}$

$y = x + a = \frac{8 - a}{3} + a = \frac{8 - a + 3a}{3} = \frac{8 + 2a}{3}$

Aの座標は ($\frac{8-a}{3}, \frac{8+2a}{3}$) となる。

Bの座標は ($\frac{8-a}{3}, 0$) となる。

ABの長さはAのy座標の絶対値なので、$AB = |\frac{8+2a}{3}| = 10$

$\frac{8+2a}{3} = 10$ または $\frac{8+2a}{3} = -10$

$\frac{8+2a}{3} = 10$ のとき

$8 + 2a = 30$

$2a = 22$

$a = 11$

$\frac{8+2a}{3} = -10$ のとき

$8 + 2a = -30$

$2a = -38$

$a = -19$

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) 11, -19