与えられた問題は、次の和を計算することです。 $\sum_{k=1}^{n-1} (2^k - k^2)$

1. 問題の内容

与えられた問題は、次の和を計算することです。

$\sum_{k=1}^{n-1} (2^k - k^2)$

2. 解き方の手順

和を分解し、それぞれの部分を個別に計算します。

$\sum_{k=1}^{n-1} (2^k - k^2) = \sum_{k=1}^{n-1} 2^k - \sum_{k=1}^{n-1} k^2$

まず、$\sum_{k=1}^{n-1} 2^k$ を計算します。これは等比数列の和です。

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^k = \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 2^n - 2$

次に、$\sum_{k=1}^{n-1} k^2$ を計算します。これは平方数の和です。

$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)(n-1+1)(2(n-1)+1)}{6} = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = \frac{2n^3 - 3n^2 + n}{6}$

したがって、求める和は次のようになります。

$\sum_{k=1}^{n-1} (2^k - k^2) = (2^n - 2) - \frac{2n^3 - 3n^2 + n}{6} = 2^n - 2 - \frac{1}{3}n^3 + \frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{6}n$

3. 最終的な答え

$2^n - 2 - \frac{2n^3 - 3n^2 + n}{6}$

または

$2^n - 2 - \frac{1}{3}n^3 + \frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{6}n$