等式 $(a-b)^3 + 3ab(a-b) = a^3 - b^3$ を証明する。

1. 問題の内容

等式 $(a-b)^3 + 3ab(a-b) = a^3 - b^3$ を証明する。

2. 解き方の手順

左辺を展開し、整理して右辺と一致することを示す。

まず、$(a-b)^3$ を展開する。

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

次に、$3ab(a-b)$ を展開する。

$3ab(a-b) = 3a^2b - 3ab^2$

左辺に上記の結果を代入すると、

$(a-b)^3 + 3ab(a-b) = (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3) + (3a^2b - 3ab^2)$

$= a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 + 3a^2b - 3ab^2$

同類項を整理する。$-3a^2b + 3a^2b = 0$ であり、$3ab^2 - 3ab^2 = 0$ であるから、

$(a-b)^3 + 3ab(a-b) = a^3 - b^3$

したがって、左辺を展開して整理すると右辺と一致する。

3. 最終的な答え

$(a-b)^3 + 3ab(a-b) = a^3 - b^3$ であることが証明された。