2次方程式 $x^2 - 3x + 1 = 0$ の大きい方の解を $\alpha$ とし、$\alpha^2$ を $\alpha$ を用いて表し、$A = \alpha^3 - \alpha^2 + \alpha - 1$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 3x + 1 = 0$ の大きい方の解を $\alpha$ とし、$\alpha^2$ を $\alpha$ を用いて表し、$A = \alpha^3 - \alpha^2 + \alpha - 1$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式 $x^2 - 3x + 1 = 0$ を解の公式を用いて解く。

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

大きい方の解を $\alpha$ とするので、$\alpha = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ である。

次に、$\alpha$ が方程式 $x^2 - 3x + 1 = 0$ の解であることから、$\alpha^2 - 3\alpha + 1 = 0$ が成り立つ。

したがって、$\alpha^2 = 3\alpha - 1$ である。

最後に、$A = \alpha^3 - \alpha^2 + \alpha - 1$ の値を求める。

$\alpha^3 = \alpha \cdot \alpha^2 = \alpha (3\alpha - 1) = 3\alpha^2 - \alpha = 3(3\alpha - 1) - \alpha = 9\alpha - 3 - \alpha = 8\alpha - 3$

$A = (8\alpha - 3) - (3\alpha - 1) + \alpha - 1 = 8\alpha - 3 - 3\alpha + 1 + \alpha - 1 = 6\alpha - 3 = 6(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}) - 3 = 3(3 + \sqrt{5}) - 3 = 9 + 3\sqrt{5} - 3 = 6 + 3\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$\alpha = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

$\alpha^2 = 3\alpha - 1$

$A = 6 + 3\sqrt{5}$