次の方程式を解きます。 $2^x + 2^{-x} = 4$

1. 問題の内容

次の方程式を解きます。

$2^x + 2^{-x} = 4$

2. 解き方の手順

まず、$2^{-x} = \frac{1}{2^x}$であることを利用して、式を書き換えます。

$2^x + \frac{1}{2^x} = 4$

次に、$t = 2^x$ とおきます。このとき、$t>0$ であることに注意します。

すると、式は

$t + \frac{1}{t} = 4$

となります。

両辺に$t$を掛けて、

$t^2 + 1 = 4t$

$t^2 - 4t + 1 = 0$

この2次方程式を解きます。解の公式より、

$t = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

したがって、$t = 2 + \sqrt{3}$ または $t = 2 - \sqrt{3}$ です。

$t = 2^x$ であったので、$2^x = 2 + \sqrt{3}$ または $2^x = 2 - \sqrt{3}$ です。

両辺の対数をとると、

$x = \log_2 (2 + \sqrt{3})$ または $x = \log_2 (2 - \sqrt{3})$ です。

ここで、$2 - \sqrt{3} = \frac{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}{2 + \sqrt{3}} = \frac{4 - 3}{2 + \sqrt{3}} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = (2 + \sqrt{3})^{-1}$

であるから、

$x = \log_2 (2 + \sqrt{3})$ または $x = \log_2 (2 + \sqrt{3})^{-1} = - \log_2 (2 + \sqrt{3})$

3. 最終的な答え

$x = \log_2(2 + \sqrt{3})$ または $x = -\log_2(2 + \sqrt{3})$