与えられた2つの数列の一般項を求める問題です。 (1) $4, 10, 20, 34, 52, ...$ (2) $1, 3, 7, 15, 31, ...$

1. 問題の内容

与えられた2つの数列の一般項を求める問題です。

(1) $4, 10, 20, 34, 52, ...$

(2) $1, 3, 7, 15, 31, ...$

2. 解き方の手順

(1) の数列について：

階差数列を求めることで規則性を見つけます。

$10-4 = 6$, $20-10 = 10$, $34-20 = 14$, $52-34 = 18$

階差数列は $6, 10, 14, 18, ...$ となり、これは初項 $6$, 公差 $4$ の等差数列です。

したがって、元の数列の階差数列の一般項 $b_n$ は、

$b_n = 6 + (n-1)4 = 4n + 2$

元の数列の一般項 $a_n$ は、$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 4 + \sum_{k=1}^{n-1} (4k + 2) = 4 + 4\sum_{k=1}^{n-1} k + 2\sum_{k=1}^{n-1} 1$

$= 4 + 4\frac{(n-1)n}{2} + 2(n-1) = 4 + 2n(n-1) + 2n - 2 = 2n^2 - 2n + 2n + 2 = 2n^2 + 2$

$n=1$ のとき、$a_1 = 2(1)^2 + 2 = 4$ となり、成り立つ。

(2) の数列について：

数列の各項に1を足してみると、規則性が見えてきます。

$1+1 = 2$, $3+1 = 4$, $7+1 = 8$, $15+1 = 16$, $31+1 = 32$

これは、$2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5, ...$ となっていることから、

$a_n + 1 = 2^n$

したがって、$a_n = 2^n - 1$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2n^2 + 2$

(2) $a_n = 2^n - 1$