与えられた4つの数の分母を有理化する問題です。 (1) $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$ (2) $\frac{1}{\sqrt{10}-\sqrt{3}}$ (3) $\frac{2}{\sqrt{3}+1}$ (4) $\frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

与えられた4つの数の分母を有理化する問題です。

(1) $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{10}-\sqrt{3}}$

(3) $\frac{2}{\sqrt{3}+1}$

(4) $\frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$ の場合：

分母の共役 $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{5-2} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{10}-\sqrt{3}}$ の場合：

分母の共役 $\sqrt{10}+\sqrt{3}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{10}-\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{10}-\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{10}+\sqrt{3}}{\sqrt{10}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{10}+\sqrt{3}}{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{10}+\sqrt{3}}{10-3} = \frac{\sqrt{10}+\sqrt{3}}{7}$

(3) $\frac{2}{\sqrt{3}+1}$ の場合：

分母の共役 $\sqrt{3}-1$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{2}{\sqrt{3}+1} = \frac{2}{\sqrt{3}+1} \cdot \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{2} = \sqrt{3}-1$

(4) $\frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$ の場合：

分母の共役 $\sqrt{7}+\sqrt{3}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{7-3} = \frac{2(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{4} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$

(2) $\frac{\sqrt{10}+\sqrt{3}}{7}$

(3) $\sqrt{3}-1$

(4) $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$