$a$ は正の定数とする。関数 $y = -x^2 + 4x + 1$ ($0 \le x \le a$) について、最大値と最小値をそれぞれ $a$ の値によって場合分けして求める。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。関数 $y = -x^2 + 4x + 1$ ($0 \le x \le a$) について、最大値と最小値をそれぞれ $a$ の値によって場合分けして求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = -x^2 + 4x + 1 = -(x^2 - 4x) + 1 = -(x^2 - 4x + 4 - 4) + 1 = -(x - 2)^2 + 4 + 1 = -(x - 2)^2 + 5$

したがって、この2次関数のグラフは、頂点が $(2, 5)$ で上に凸な放物線である。

(1) 最大値を求める。

定義域は $0 \le x \le a$ である。頂点の $x$ 座標は $x = 2$ である。

場合分けは以下のようになる。

(i) $0 < a < 2$ のとき: 定義域内で $x$ が増加するにつれて $y$ も増加するので、最大値は $x = a$ のときにとる。

$y = -a^2 + 4a + 1$

(ii) $a \ge 2$ のとき: 頂点が定義域に含まれるので、最大値は頂点の $y$ 座標になる。

$y = 5$

(2) 最小値を求める。

(i) $0 < a \le 4$ のとき:

$x = 0$ のとき $y = 1$, $x = a$ のとき $y = -a^2 + 4a + 1$

軸 $x = 2$ を基準に考えると、定義域の中央の値は $a/2$ となる。$a \le 4$ のとき、定義域の左端 $x = 0$ で最小値をとる。

したがって、最小値は $y = 1$ である。

(ii) $a > 4$ のとき:

$x = a$ のとき $y = -a^2 + 4a + 1$, $x = 0$ のとき $y = 1$

定義域の右端 $x = a$ で最小値をとる。

したがって、最小値は $y = -a^2 + 4a + 1$ である。

3. 最終的な答え

(1) 最大値

$0 < a < 2$ のとき、$-a^2 + 4a + 1$

$a \ge 2$ のとき、5

(2) 最小値

$0 < a \le 4$ のとき、1

$a > 4$ のとき、$-a^2 + 4a + 1$