(3) 軸が直線 $x=2$ で、2点 $(4, 1)$, $(6, -5)$ を通る2次関数を求めよ。 (4) 軸が直線 $x=-3$ で、2点 $(0, 9)$, $(-2, -7)$ を通る2次関数を求めよ。

1. 問題の内容

(3) 軸が直線 $x=2$ で、2点 $(4, 1)$, $(6, -5)$ を通る2次関数を求めよ。

(4) 軸が直線 $x=-3$ で、2点 $(0, 9)$, $(-2, -7)$ を通る2次関数を求めよ。

2. 解き方の手順

(3) 求める2次関数を $y = a(x-2)^2 + q$ とおく。

2点 $(4, 1)$, $(6, -5)$ を通るので、

$1 = a(4-2)^2 + q$

$-5 = a(6-2)^2 + q$

これを整理すると、

$1 = 4a + q$ ...(1)

$-5 = 16a + q$ ...(2)

(2) - (1)より、

$-6 = 12a$

$a = -\frac{1}{2}$

(1)に代入すると、

$1 = 4(-\frac{1}{2}) + q$

$1 = -2 + q$

$q = 3$

よって、求める2次関数は、

$y = -\frac{1}{2}(x-2)^2 + 3$

$y = -\frac{1}{2}(x^2 - 4x + 4) + 3$

$y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x - 2 + 3$

$y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 1$

(4) 求める2次関数を $y = a(x+3)^2 + q$ とおく。

2点 $(0, 9)$, $(-2, -7)$ を通るので、

$9 = a(0+3)^2 + q$

$-7 = a(-2+3)^2 + q$

これを整理すると、

$9 = 9a + q$ ...(3)

$-7 = a + q$ ...(4)

(3) - (4)より、

$16 = 8a$

$a = 2$

(4)に代入すると、

$-7 = 2 + q$

$q = -9$

よって、求める2次関数は、

$y = 2(x+3)^2 - 9$

$y = 2(x^2 + 6x + 9) - 9$

$y = 2x^2 + 12x + 18 - 9$

$y = 2x^2 + 12x + 9$

3. 最終的な答え

(3) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 1$

(4) $y = 2x^2 + 12x + 9$