$a$を実数の定数とし、関数 $f(x) = -x^2 + 2x$ ($a \le x \le a+1$) の最大値を $M(a)$ とする。 $f(x)$ のグラフは頂点が（ア）で、直線 $l: x =$（イ）を軸にもつ放物線 $C$ である。 $l$ が区間 $a \le x \le a+1$ に含まれるか否かで場合分けして、$M(a)$ を求める。

1. 問題の内容

$a$を実数の定数とし、関数 $f(x) = -x^2 + 2x$ ($a \le x \le a+1$) の最大値を $M(a)$ とする。

$f(x)$ のグラフは頂点が（ア）で、直線 $l: x =$（イ）を軸にもつ放物線 $C$ である。

$l$ が区間 $a \le x \le a+1$ に含まれるか否かで場合分けして、$M(a)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = -x^2 + 2x$ を平方完成します。

$f(x) = -(x^2 - 2x) = -(x^2 - 2x + 1 - 1) = -(x-1)^2 + 1$

よって、$f(x)$ のグラフは頂点が $(1, 1)$ であり、直線 $x = 1$ を軸にもつ上に凸の放物線です。したがって、アは1、イも1となります。

次に、場合分けを行います。

(i) $a < 1$ のとき

さらに、$a + 1 < 1$ 、つまり $a < 0$ のとき、$a \le x \le a+1$ で $f(x)$ は増加関数なので、$x = a+1$ で最大値をとります。

$M(a) = f(a+1) = -(a+1)^2 + 2(a+1) = -(a^2 + 2a + 1) + 2a + 2 = -a^2 - 2a - 1 + 2a + 2 = -a^2 + 1$

$0 \le a < 1$ のとき、$x = 1$が区間 $a \le x \le a+1$ に含まれるので、$x = 1$ で最大値 $f(1) = 1$ をとります。

(ii) $a \le 1 \le a+1$ のとき

これは、$a \le 1$ かつ $a + 1 \ge 1$ ということなので、$0 \le a \le 1$ のとき、$f(x)$ の最大値は $f(1) = 1$ となります。

(iii) $a > 1$ のとき

$a \le x \le a+1$ で、$f(x)$ は減少関数なので、$x = a$ で最大値をとります。

$M(a) = f(a) = -a^2 + 2a$

(i) $a < 0$ のとき、$M(a) = -a^2 + 1$

(ii) $0 \le a \le 1$ のとき、$M(a) = 1$

(iii) $a > 1$ のとき、$M(a) = -a^2 + 2a$

問題に戻って、空白を埋めます。

(i) $a < 0$ のとき、$M(a) = -a^2 + 0a + 1$

(ii) $0 \le a \le 1$ のとき、$M(a) = 0a^2 + 0a + 1$

(iii) $a > 1$ のとき、$M(a) = -a^2 + 2a + 0$

3. 最終的な答え

ア：1

イ：1

ウ：0

エ：-1

オ：0

カ：1

キ：1

ク：0

ケ：0

コ：1

サ：-1

シ：2

ス：0