3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 10 = 0$ の1つの解が $-1 + i$ であるとき、実数 $a, b$ の値を求め、さらに他の解を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 10 = 0$ の1つの解が $-1 + i$ であるとき、実数 $a, b$ の値を求め、さらに他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた3次方程式の係数が実数であることから、複素数解は共役な複素数も解に持つ。したがって、$-1 + i$ が解ならば、$-1 - i$ も解である。

解を $\alpha = -1+i$, $\beta = -1-i$, $\gamma$ とおく。解と係数の関係より、

$\alpha + \beta + \gamma = -a$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b$

$\alpha\beta\gamma = 10$

ここで、

$\alpha+\beta = (-1+i) + (-1-i) = -2$

$\alpha\beta = (-1+i)(-1-i) = (-1)^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2$

$\alpha\beta\gamma = 2\gamma = 10$ より、$\gamma = 5$

$\alpha + \beta + \gamma = -2 + 5 = 3 = -a$ より、$a = -3$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \alpha\beta + \gamma(\alpha + \beta) = 2 + 5(-2) = 2 - 10 = -8 = b$

よって、$a = -3, b = -8$ であり、他の解は $-1-i$ と $5$ である。

3. 最終的な答え

$a = -3$

$b = -8$

他の解は $-1-i$ と $5$