縦8cm、横12cmの長方形の板の四隅から、一辺の長さが $x$ cmの正方形を切り取り、残りの部分を折り曲げてふたのない箱を作ります。箱の容積が64 cm³になるとき、切り取る正方形の一辺の長さ $x$ を求めます。

1. 問題の内容

縦8cm、横12cmの長方形の板の四隅から、一辺の長さが $x$ cmの正方形を切り取り、残りの部分を折り曲げてふたのない箱を作ります。箱の容積が64 cm³になるとき、切り取る正方形の一辺の長さ $x$ を求めます。

2. 解き方の手順

箱の底面の縦の長さは $8 - 2x$ cm、横の長さは $12 - 2x$ cm、高さは $x$ cmとなります。したがって、箱の容積は $x(8 - 2x)(12 - 2x)$ cm³ と表されます。

問題文より、箱の容積が64 cm³なので、以下の式が成り立ちます。

$x(8 - 2x)(12 - 2x) = 64$

この式を整理します。

$x(96 - 24x - 16x + 4x^2) = 64$

$x(4x^2 - 40x + 96) = 64$

$4x^3 - 40x^2 + 96x = 64$

$4x^3 - 40x^2 + 96x - 64 = 0$

$x^3 - 10x^2 + 24x - 16 = 0$

この3次方程式を解きます。

$x=2$を代入すると、$2^3 - 10\cdot2^2 + 24\cdot2 - 16 = 8 - 40 + 48 - 16 = 0$なので、$x=2$はこの方程式の解です。

したがって、$x-2$は$x^3 - 10x^2 + 24x - 16 = 0$の因数となります。

組み立て除法を用いると、

$(x^3 - 10x^2 + 24x - 16) / (x-2) = x^2 - 8x + 8$

となります。

よって、$x^3 - 10x^2 + 24x - 16 = (x-2)(x^2 - 8x + 8) = 0$

$x^2 - 8x + 8 = 0$を解くと、

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{2}$

となります。

ここで、$x$は正方形の一辺の長さなので、$0 < x < 4$でなければなりません。（$8 - 2x > 0$より $x < 4$）

$4 + 2\sqrt{2} \approx 4 + 2 \times 1.414 = 4 + 2.828 = 6.828 > 4$なので、これは解として不適です。

$4 - 2\sqrt{2} \approx 4 - 2.828 = 1.172 < 4$なので、これは解として適切です。

したがって、$x = 2$ または $x = 4 - 2\sqrt{2}$ が解の候補となります。

$x=2$のとき、$8 - 2x = 4$、$12 - 2x = 8$、$x = 2$なので、$2 \times 4 \times 8 = 64$となり、条件を満たします。

$x = 4 - 2\sqrt{2}$のとき、$8 - 2x = 8 - 2(4 - 2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}$、$12 - 2x = 12 - 2(4 - 2\sqrt{2}) = 4 + 4\sqrt{2}$、$x = 4 - 2\sqrt{2}$なので、$(4-2\sqrt{2}) \times 4\sqrt{2} \times (4+4\sqrt{2}) = (4-2\sqrt{2}) \times 16\sqrt{2} + 32 = 64$となり条件を満たします。

3. 最終的な答え

切り取る正方形の1辺の長さは、$2$ cm または $(4 - 2\sqrt{2})$ cm です。