$f(x) = -x^2 + 2x$ (ただし $0 \le x \le a$) の最小値を $m(a)$ とするとき、以下の問いに答える問題です。 - $f(x)$ のグラフの頂点の座標と軸の方程式を求める。 - 区間 $0 \le x \le a$ の中央の値を求める。 - $0 < a < \text{エ}$ のときと、$a \ge \text{エ}$ のときの場合分けで $m(a)$ を $a$ の式で表す。

1. 問題の内容

$f(x) = -x^2 + 2x$ (ただし $0 \le x \le a$) の最小値を $m(a)$ とするとき、以下の問いに答える問題です。

- $f(x)$ のグラフの頂点の座標と軸の方程式を求める。

- 区間 $0 \le x \le a$ の中央の値を求める。

- $0 < a < \text{エ}$ のときと、$a \ge \text{エ}$ のときの場合分けで $m(a)$ を $a$ の式で表す。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = -x^2 + 2x$ を平方完成します。

$f(x) = -(x^2 - 2x) = -(x^2 - 2x + 1 - 1) = -(x-1)^2 + 1$

よって、頂点は $(1, 1)$ 、軸は $x=1$ です。

次に、区間 $0 \le x \le a$ の中央の値は $x = \frac{a}{2}$ です。

軸 $x=1$ と区間の中央 $x=\frac{a}{2}$ の大小で場合分けします。

(i) $0 < a < 2$ のとき、$\frac{a}{2} < 1$ なので、区間 $0 \le x \le a$ において $f(x)$ は単調減少です。したがって、$x=a$ で最小値をとります。

$m(a) = f(a) = -a^2 + 2a$

(ii) $a \ge 2$ のとき、$1 \le \frac{a}{2}$ なので、区間 $0 \le x \le a$ に軸 $x=1$ が含まれます。したがって、$x=0$ または $x=a$ が最小値を与えます。頂点から遠い方が最小になるので、$x=0$または$x=a$ で最小値をとります。しかし、下に凸のグラフであるので、最小値は軸に一番近い点なので、$a \ge 2$であれば、区間の端のうち、$x=0$に近い方が最小です。

$f(0) = 0$ なので、$f(x)$ の最小値は$0$となります。

$m(a) = f(a) = 0$

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 1

ウ: a/2

エ: 2

オ: -1

カ: 2

キ: 0

ク: 0

ケ: 0

コ: 0