$f(x) = 2x^2 + 4x + 1$ ($a-1 \le x \le a+1$) の最大値を $M(a)$ とするとき，以下の問いに答えよ． (1) $f(x)$ のグラフの頂点を求めよ． (2) $f(x)$ のグラフの軸を求めよ． (3) 区間 $a-1 \le x \le a+1$ の中央の値を求めよ． (4) 上記(2)と(3)の大小で場合分けして、$M(a)$ を求めよ．

1. 問題の内容

$f(x) = 2x^2 + 4x + 1$ ($a-1 \le x \le a+1$) の最大値を $M(a)$ とするとき，以下の問いに答えよ．

(1) $f(x)$ のグラフの頂点を求めよ．

(2) $f(x)$ のグラフの軸を求めよ．

(3) 区間 $a-1 \le x \le a+1$ の中央の値を求めよ．

(4) 上記(2)と(3)の大小で場合分けして、$M(a)$ を求めよ．

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = 2x^2 + 4x + 1$ を平方完成する．

$f(x) = 2(x^2 + 2x) + 1 = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1 = 2(x+1)^2 - 2 + 1 = 2(x+1)^2 - 1$

よって，頂点は $(-1, -1)$ である．

(2) 軸は $x = -1$ である．

(3) 区間の中央の値は $\frac{(a-1) + (a+1)}{2} = \frac{2a}{2} = a$ である．

(4) 軸 $x=-1$ と区間の中央 $x=a$ の大小関係で場合分けする．

(i) $a < -1$ のとき

区間 $a-1 \le x \le a+1$ で $f(x)$ は単調減少であるから，最大値は $f(a-1)$ である．

$f(a-1) = 2(a-1)^2 + 4(a-1) + 1 = 2(a^2 - 2a + 1) + 4a - 4 + 1 = 2a^2 - 4a + 2 + 4a - 4 + 1 = 2a^2 - 1$

よって，$M(a) = 2a^2 - 1$．

(ii) $a \ge -1$ のとき

$x=-1$ が区間 $a-1 \le x \le a+1$ に含まれるか否かでさらに場合分けが必要．

$a-1 \le -1 \le a+1$ を満たす $a$ の範囲は，$-1 \le a \le 1$

(ii-1) $-1 \le a \le 1$ のとき、$x=-1$ で最大値 $f(-1) = -1$ をとる．

$a = -1$ のときは $x = -2 \le x \le 0$，$f(-2) = f(0) = 1$．

$a = 1$ のときは $x = 0 \le x \le 2$，$f(2) = 2(2)^2 + 4(2) + 1 = 8 + 8 + 1 = 17$．

軸 $x=-1$ と区間の関係で場合分けをする．

$a-1 \le -1 \le a+1$ より $-1 \le a \le 1$ のとき頂点が含まれる．

$a-1 > -1$ つまり $a > 0$ のとき区間の右端で最大値を取る．$x = a+1$

$f(a+1) = 2(a+1)^2 + 4(a+1) + 1 = 2(a^2+2a+1) + 4a+4+1 = 2a^2+4a+2+4a+5 = 2a^2+8a+7$

$a+1 < -1$ つまり $a < -2$ のとき区間の左端で最大値を取る．$x = a-1$

$f(a-1) = 2(a-1)^2 + 4(a-1) + 1 = 2(a^2-2a+1) + 4a-4+1 = 2a^2-4a+2+4a-3 = 2a^2 -1$

最終的な場合分け:

(i) $a < -1$ のとき $M(a) = 2a^2 - 1$

(ii) $a \ge -1$ のとき，$x = a+1$ で最大値．$M(a) = f(a+1) = 2(a+1)^2 + 4(a+1) + 1 = 2a^2+8a+7$

3. 最終的な答え

ア: (-1, -1)

イ: -1

ウ: a

エ: -1

オ: 2

カ: 0

キ: -1

ク: 2

ケ: 8

コ: 7