実数 $a$ を定数とする。関数 $f(x) = -2x^2 + 4x + 1$ （$a \le x \le a+1$）の最小値を $m(a)$ とする。$f(x)$ のグラフの頂点、$f(x)$ の軸、$a \le x \le a+1$ の中央の値を求め、軸と中央の大小で場合分けして $m(a)$ を求める。

1. 問題の内容

実数 $a$ を定数とする。関数 $f(x) = -2x^2 + 4x + 1$ （$a \le x \le a+1$）の最小値を $m(a)$ とする。$f(x)$ のグラフの頂点、$f(x)$ の軸、$a \le x \le a+1$ の中央の値を求め、軸と中央の大小で場合分けして $m(a)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = -2(x^2 - 2x) + 1 = -2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1 = -2(x-1)^2 + 2 + 1 = -2(x-1)^2 + 3$

したがって、頂点は $(1, 3)$、軸は $x = 1$ です。

区間 $a \le x \le a+1$ の中央は $x = \frac{a + (a+1)}{2} = \frac{2a+1}{2} = a + \frac{1}{2}$ です。

軸 $x=1$ と中央 $x=a+\frac{1}{2}$ の大小で場合分けを行います。

$1 < a + \frac{1}{2}$ すなわち $a > \frac{1}{2}$ のとき、最小値は $f(a+1)$ となります。

$a + \frac{1}{2} \le 1$ すなわち $a \le \frac{1}{2}$ のとき、最小値は $f(a)$ となります。

したがって、$a < \frac{1}{2}$ と $a \ge \frac{1}{2}$ で場合分けします。

(i) $a < \frac{1}{2}$ のとき、最小値は $f(a) = -2a^2 + 4a + 1$ です。

したがって、$m(a) = -2a^2 + 4a + 1$

(ii) $a \ge \frac{1}{2}$ のとき、最小値は $f(a+1) = -2(a+1)^2 + 4(a+1) + 1 = -2(a^2 + 2a + 1) + 4a + 4 + 1 = -2a^2 - 4a - 2 + 4a + 5 = -2a^2 + 3$ です。

したがって、$m(a) = -2a^2 + 3$

3. 最終的な答え

ア: (1, 3)

イ: 1

ウ: $a + \frac{1}{2}$

エ: $\frac{1}{2}$

オ: -2

カ: 4

キ: 1

ク: -2

ケ: 0

コ: 3