与えられた不等式 $3x^2 - 4x \geq 2x^2 - 5x + 1$ を解き、$x$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $3x^2 - 4x \geq 2x^2 - 5x + 1$ を解き、$x$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、不等式の右辺を左辺に移項して整理します。

$3x^2 - 4x - (2x^2 - 5x + 1) \geq 0$

$3x^2 - 4x - 2x^2 + 5x - 1 \geq 0$

$x^2 + x - 1 \geq 0$

次に、$x^2 + x - 1 = 0$ の解を求めます。これは二次方程式なので、解の公式を使います。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 1$, $b = 1$, $c = -1$ なので、

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

したがって、$x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ と $x = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$ が解となります。

不等式 $x^2 + x - 1 \geq 0$ の解を求めるには、二次関数のグラフ $y = x^2 + x - 1$ が $y \geq 0$ となる $x$ の範囲を考えます。

$x^2$ の係数が正なので、グラフは下に凸の放物線になります。したがって、不等式を満たす $x$ の範囲は、2つの解よりも小さい範囲と大きい範囲です。

3. 最終的な答え

$x \leq \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \leq x$