問題は次の3つの式をそれぞれ展開・因数分解する問題です。 (1) $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$ (2) $bc(b-c) + ca(c-a) + ab(a-b)$ (3) $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$

1. 問題の内容

問題は次の3つの式をそれぞれ展開・因数分解する問題です。

(1) $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$

(2) $bc(b-c) + ca(c-a) + ab(a-b)$

(3) $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$

2. 解き方の手順

(1)

まず、式を展開します。

$a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2) = ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2$

次に、同類項をまとめて整理します。

$ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2 = ab^2 - ba^2 + bc^2 - cb^2 + ca^2 - ac^2$

共通因数でくくります。

$ab(b-a) + bc(c-b) + ca(a-c)$

さらに整理して因数分解します。

$ab(b-a) + bc(c-b) + ca(a-c) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

(2)

まず、式を展開します。

$bc(b-c) + ca(c-a) + ab(a-b) = b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2 + a^2b - ab^2$

次に、同類項をまとめて整理します。

$b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2 + a^2b - ab^2 = a^2(b-c) + a(c^2 - b^2) + bc(b-c)$

共通因数でくくります。

$a^2(b-c) - a(b^2 - c^2) + bc(b-c) = a^2(b-c) - a(b-c)(b+c) + bc(b-c)$

さらに整理して因数分解します。

$(b-c)[a^2 - a(b+c) + bc] = (b-c)(a^2 - ab - ac + bc) = (b-c)[a(a-b) - c(a-b)] = (b-c)(a-b)(a-c)$

したがって、

$(a-b)(b-c)(a-c) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

(3)

まず、$(a+b)(b+c)$ を展開します。

$(a+b)(b+c) = ab + ac + b^2 + bc$

次に、$(ab+ac+b^2+bc)(c+a)$ を展開します。

$(ab+ac+b^2+bc)(c+a) = abc+a^2b+ac^2+a^2c+b^2c+ab^2+bc^2+abc = a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2+2abc$

これに $abc$ を加えます。

$a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2+2abc + abc = a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2+3abc$

因数分解します。

$a^2(b+c)+a(b^2+c^2+3bc)+bc(b+c)$

$= a^2(b+c)+a(b^2+2bc+c^2+bc)+bc(b+c)$

$= a^2(b+c)+a((b+c)^2+bc)+bc(b+c)$

$= (a+b)(b+c)(c+a)+abc$

$= (a+b)(ac+bc+a^2+ab)+abc$

$= a^2(b+c)+ab^2+ac^2+bc(a+b)$

$= a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2+3abc$

$= (a+b)(b+c)(c+a)+abc$

$=(a+b)(bc+ab+c^2+ac)+abc$

$=abc+a^2b+ac^2+a^2c+b^2c+ab^2+bc^2+abc+abc$

$=(a+b)(b+c)(c+a)+abc$

$=a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b+3abc$

$=(a+b)(b+c)(c+a) + abc = (a+b)(bc+ab+c^2+ac)+abc= abc+a^2b+ac^2+a^2c + b^2c+ab^2+bc^2+abc + abc =a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2+3abc$

3. 最終的な答え

(1) $-(a-b)(b-c)(c-a)$

(2) $-(a-b)(b-c)(c-a)$

(3) $a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2+3abc$