実数 $a$ を定数とし、関数 $f(x) = x^2$ （定義域は $a-1 \leq x \leq a+1$）の最大値を $M(a)$ とする。$f(x)$ のグラフの頂点、軸、区間の中央の $x$ 座標を求め、軸と中央の値の大小で場合分けして、$M(a)$ を $a$ の式で表す。

1. 問題の内容

実数 $a$ を定数とし、関数 $f(x) = x^2$ （定義域は $a-1 \leq x \leq a+1$）の最大値を $M(a)$ とする。$f(x)$ のグラフの頂点、軸、区間の中央の $x$ 座標を求め、軸と中央の値の大小で場合分けして、$M(a)$ を $a$ の式で表す。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^2$ のグラフについて考える。

* 頂点は $(0, 0)$ である。

* 軸は直線 $x = 0$ である。

次に、区間 $a-1 \leq x \leq a+1$ の中央の $x$ 座標を求める。

区間の両端の $x$ 座標の平均をとると、中央の $x$ 座標は $\frac{(a-1) + (a+1)}{2} = \frac{2a}{2} = a$ となる。

軸 $x = 0$ と中央 $x = a$ の大小で場合分けする。

(i) $a < 0$ のとき、区間 $a-1 \leq x \leq a+1$ は $x = 0$ を含む。

$f(x)$ は $x^2$ なので、$x$ の絶対値が大きいほど $f(x)$ の値は大きくなる。

区間の端点 $a-1$ と $a+1$ の絶対値を比較する。

$|a-1| - |a+1| = -(a-1) - (-(a+1)) = -a+1 + a + 1 = 2$

$a < 0$ より、$a-1 < a+1 < 0$ 。

$|a-1| = 1-a$ , $|a+1| = -a-1$

$|a-1| > |a+1|$ なので、$M(a) = f(a-1) = (a-1)^2 = a^2 - 2a + 1$ となる。

(ii) $a \geq 0$ のとき、区間 $a-1 \leq x \leq a+1$ は $x = 0$ を含む場合と含まない場合があるが、$a \geq 0$の場合を考える。

$f(x)$ は $x^2$ なので、$x$ の絶対値が大きいほど $f(x)$ の値は大きくなる。

区間の端点 $a-1$ と $a+1$ の絶対値を比較する。

$|a-1| - |a+1| = a-1 - (a+1) = -2$

$|a-1| < |a+1|$ なので、$M(a) = f(a+1) = (a+1)^2 = a^2 + 2a + 1$ となる。

(i) $a < 0$ のとき

$M(a) = a^2 - 2a + 1$

(ii) $a \geq 0$ のとき

$M(a) = a^2 + 2a + 1$

3. 最終的な答え

* ア：$(0,0)$

* イ：$0$

* ウ：$a$

* エ：$0$

* オ：$1$

* カ：$-2$

* キ：$1$

* ク：$1$

* ケ：$2$

* コ：$1$