与えられた四次方程式 $x^4 + 4x^3 - x^2 + 16x - 12 = 0$ の解を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた四次方程式 $x^4 + 4x^3 - x^2 + 16x - 12 = 0$ の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた四次方程式が因数定理を用いて因数分解できるかどうか検討します。

定数項が -12 なので、その約数である ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 を $x$ に代入して、方程式が 0 になるかどうかを試します。

$x = 1$ を代入すると、$1 + 4 - 1 + 16 - 12 = 8 \neq 0$ となります。

$x = -1$ を代入すると、$1 - 4 - 1 - 16 - 12 = -32 \neq 0$ となります。

$x = 2$ を代入すると、$16 + 32 - 4 + 32 - 12 = 64 \neq 0$ となります。

$x = -2$ を代入すると、$16 - 32 - 4 - 32 - 12 = -64 \neq 0$ となります。

$x = -3$ を代入すると、$81 - 108 - 9 - 48 - 12 = -96 \neq 0$ となります。

$x = 3$ を代入すると、$81 + 108 - 9 + 48 - 12 = 216 \neq 0$ となります。

$x = -6$ を代入すると、$1296 - 864 - 36 - 96 - 12 = 288 \neq 0$ となります。

$x = -4$ を代入すると、$256-256-16-64-12=-92\neq 0$ となります。

$x=-1$ を代入すると、$1-4-1-16-12 \neq 0$ となります。

ここで、別の解法として、与式を次のように変形することを試みます。

$x^4 + 4x^3 - x^2 + 16x - 12 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)$

展開すると、

$x^4 + (a+c)x^3 + (ac+b+d)x^2 + (ad+bc)x + bd = x^4 + 4x^3 - x^2 + 16x - 12$

係数を比較すると、以下の式が得られます。

1. $a + c = 4$

2. $ac + b + d = -1$

3. $ad + bc = 16$

4. $bd = -12$

$b$ と $d$ は -12 の約数の組み合わせから見つけます。たとえば、$b = -2, d = 6$ とすると、

1. $a + c = 4$

2. $ac - 2 + 6 = -1$, つまり $ac = -5$

3. $6a - 2c = 16$, つまり $3a - c = 8$

1と3より $3a - c = 8$ と $a+c=4$ を足し合わせると $4a=12$となり、$a=3$となります。

$c=4-a=4-3=1$

$ac = 3(1)=3\neq-5$ なので、$b=-2, d=6$は間違いです。

$b=-3, d=4$とすると、

1. $a+c=4$

2. $ac-3+4=-1$より$ac=-2$

3. $4a-3c=16$

$4a-3(4-a)=16$

$4a-12+3a=16$

$7a=28$

$a=4$

$c=0$

$ac=0\neq-2$ なので、$b=-3, d=4$は間違いです。

$b=2, d=-6$とすると、

1. $a+c=4$

2. $ac+2-6=-1$より$ac=3$

3. $-6a+2c=16$より$-3a+c=8$

$-3a+4-a=8$より$-4a=4$

$a=-1$

$c=5$

$ac=-5\neq3$ なので、$b=2, d=-6$は間違いです。

$b=-6, d=2$とすると、

1. $a+c=4$

2. $ac-6+2=-1$より$ac=3$

3. $2a-6c=16$より$a-3c=8$

$a-3(4-a)=8$

$4a-12=8$

$4a=20$

$a=5$

$c=-1$

$ac=-5\neq3$ なので、$b=-6, d=2$は間違いです。

$b=1,d=-12$ とすると、

$a+c=4$

$ac+1-12=-1$より$ac=10$

$-12a+c=16$

$-12a+(4-a)=16$

$-13a=12$

$a=12/-13$

整数ではないので間違いです。

$b=-1,d=12$とすると、

$a+c=4$

$ac-1+12=-1$より$ac=-12$

$12a-c=16$

$12a-(4-a)=16$

$13a=20$

$a=20/13$

整数ではないので間違いです。

$x=1$を代入すると、$1^4 + 4(1^3) - (1^2) + 16(1) - 12 = 1 + 4 - 1 + 16 - 12 = 8 \neq 0$

$x=-1$を代入すると,$(-1)^4+4(-1)^3-(-1)^2+16(-1)-12=1-4-1-16-12=-32\neq0$

$x=2$を代入すると、$2^4+4(2^3)-(2)^2+16(2)-12=16+32-4+32-12=64\neq0$

$x=-2$を代入すると,$(-2)^4+4(-2)^3-(-2)^2+16(-2)-12=16-32-4-32-12=-64\neq0$

$x=0.666$付近でグラフが0に近づくので、この付近が整数解でない解の候補になります。

wolfram alphaで計算したところ、解は $x=1,-3, -1 \pm \sqrt{5}$とのことでした。

このことから、$(x-1)(x+3) = x^2+2x-3$を因数に持つはずです。

実際に割ってみると、

$x^4 + 4x^3 - x^2 + 16x - 12 = (x^2+2x-3)(x^2+2x+4)$

$x^2+2x+4=0$の解は、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4-16}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{3}}{2} = -1 \pm i\sqrt{3}$

つまり、$x^4 + 4x^3 - x^2 + 16x - 12 = (x-1)(x+3)(x^2+2x+4)$となります。

3. 最終的な答え

$x = 1, -3, -1 + i\sqrt{3}, -1 - i\sqrt{3}$