方程式 $1 = \frac{x+a}{2} + \frac{3}{x+a}$ の解の一つが $x = -2$ であるとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

方程式 $1 = \frac{x+a}{2} + \frac{3}{x+a}$ の解の一つが $x = -2$ であるとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$x=-2$ を方程式に代入します。

$1 = \frac{-2+a}{2} + \frac{3}{-2+a}$

$a-2 = t$ とおくと

$1 = \frac{t}{2} + \frac{3}{t}$

両辺に $2t$ をかけます。

$2t = t^2 + 6$

$t^2 - 2t + 6 = 0$

二次方程式を解きます。

$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(6)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-20}}{2} = 1 \pm i\sqrt{5}$

$t = a - 2$ であったので、$a = t+2$。

したがって、$a = (1 \pm i\sqrt{5}) + 2 = 3 \pm i\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$a = 3 + i\sqrt{5}, 3 - i\sqrt{5}$