不等式 $x^2 + y^2 \le 2$ を満たす $x, y$ に対して、$x+y$ の最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $x^2 + y^2 \le 2$ を満たす $x, y$ に対して、$x+y$ の最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$x+y = k$ とおきます。このとき、$y = -x + k$ となります。

これを $x^2 + y^2 \le 2$ に代入すると、$x^2 + (-x+k)^2 \le 2$ となります。

これを整理すると、

$x^2 + x^2 - 2kx + k^2 \le 2$

$2x^2 - 2kx + k^2 - 2 \le 0$

この不等式が少なくとも1つの実数解を持つためには、2次方程式 $2x^2 - 2kx + k^2 - 2 = 0$ の判別式 $D$ が $D \ge 0$ である必要があります。

$D = (-2k)^2 - 4(2)(k^2 - 2) = 4k^2 - 8(k^2 - 2) = 4k^2 - 8k^2 + 16 = -4k^2 + 16$

したがって、$-4k^2 + 16 \ge 0$ より、$4k^2 \le 16$ となり、$k^2 \le 4$ となります。

よって、$-2 \le k \le 2$ となります。

したがって、$x+y$ の最大値は $2$ です。

この時、$2x^2 - 4x + 4-2 = 0$

$2x^2 - 4x + 2 = 0$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x-1)^2 = 0$

$x = 1$

$y = -1 + 2 = 1$

$x=1, y=1$の時、$x^2+y^2 = 1^2 + 1^2 = 2 \le 2$ を満たしています。

3. 最終的な答え

2