3つの直線 $4x + 3y - 24 = 0$, $x - 2y + 5 = 0$, $ax + y + 2 = 0$ が1点で交わるとき、定数 $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

3つの直線 $4x + 3y - 24 = 0$, $x - 2y + 5 = 0$, $ax + y + 2 = 0$ が1点で交わるとき、定数 $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、最初の2つの直線 $4x + 3y - 24 = 0$ と $x - 2y + 5 = 0$ の交点を求めます。

連立方程式

$4x + 3y - 24 = 0$ (1)

$x - 2y + 5 = 0$ (2)

(2)式より、 $x = 2y - 5$ 。

これを(1)式に代入すると、

$4(2y - 5) + 3y - 24 = 0$

$8y - 20 + 3y - 24 = 0$

$11y - 44 = 0$

$11y = 44$

$y = 4$

$y = 4$ を (2)式に代入すると、

$x - 2(4) + 5 = 0$

$x - 8 + 5 = 0$

$x - 3 = 0$

$x = 3$

したがって、2直線の交点の座標は $(3, 4)$ です。

3つの直線が1点で交わるので、3番目の直線 $ax + y + 2 = 0$ もこの点 $(3, 4)$ を通ります。

$ax + y + 2 = 0$ に $x = 3$, $y = 4$ を代入すると、

$a(3) + 4 + 2 = 0$

$3a + 6 = 0$

$3a = -6$

$a = -2$

3. 最終的な答え

$a = -2$